Solitón

solitón

Descubridor o Inventor	Russel, John Scott
fecha de apertura	1834
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Un solitón es una onda solitaria estructuralmente estable que se propaga en un medio no lineal .

Los solitones se comportan como partículas ( partículas como ondas ): cuando interactúan entre sí o con otras perturbaciones, no colapsan, sino que continúan moviéndose, manteniendo su estructura sin cambios. Esta propiedad se puede utilizar para transmitir datos a largas distancias sin interferencias.

La historia del estudio del solitón comenzó en agosto de 1834 a orillas del Union Canal, cerca de Edimburgo . John Scott Russell observó un fenómeno en la superficie del agua, al que llamó ola solitaria - "ola solitaria" [1] [2] [3] .

Por primera vez, se introdujo el concepto de solitón para describir ondas no lineales que interactúan como partículas [4] .

Los solitones son de diferente naturaleza:

en la superficie de un líquido [5] (los primeros solitones descubiertos en la naturaleza [6] ), a veces considerados como tales ondas de tsunami y boro [7]
solitones ionosónicos y magnetosónicos en plasma [8]
solitones gravitacionales en un líquido estratificado [9]
solitones en forma de pulsos de luz cortos en el medio activo de un láser [10]
pueden ser considerados como impulsos nerviosos de solitones [11]
solitones en materiales ópticos no lineales [12] [13]
solitones en el aire [14]

Modelo matemático

La ecuación de Korteweg-de Vries

Uno de los modelos más simples y conocidos que permite la existencia de solitones en una solución es la ecuación de Korteweg-de Vries:

u_{t}-6uu_{x}+u_{{xxx}}=0

Una posible solución a esta ecuación es un solitón solitario:

u(x,t)=-{\frac {2\varkappa ^{2}}{{\mathrm {ch}}^{2}\,\varkappa (x-4\varkappa ^{2}t-\varphi )}}

donde es la amplitud del solitón y es la fase. El ancho efectivo de la base del solitón es . Tal solitón se mueve con velocidad . Se puede observar que los solitones de gran amplitud resultan ser más angostos y se mueven más rápido [15] . $2\varkappa^{2}$ $\varphi$ $\varkappa ^{{-1}}$ $v=4\varkappa^{2}$

En un caso más general, se puede demostrar que hay una clase de soluciones multisolitón tales que asintóticamente en , la solución se divide en varios solitones individuales distantes que se mueven con velocidades diferentes por pares. La solución general de N-solitón se puede escribir como $t\to\pm\infty$

u(x,t)=-2{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln \det A(x,t)

donde la matriz está dada por $A(x,t)$

A_{{nm))=\delta_{{nm))+{\frac {\beta_{n)){\varkappa_{n}+\varkappa_{m))}{\mathrm {e)) ^{{8\varkappa _{n}^{3}t-(\varkappa _{n}+\varkappa _{m})x}}

Aquí y son constantes reales arbitrarias. $\beta _{n},n=1,\puntos,N$ $\varkappa _{n}>0,n=1,\puntos,N$

Una propiedad notable de las soluciones de multisolitones es la reflectividad : al estudiar la ecuación de Schrödinger unidimensional correspondiente

-\parcial _{x}^{2}\psi (x)+u(x)\psi (x)=E\psi (x)

con el potencial decayendo en el infinito más rápido que , el coeficiente de reflexión es 0 si y sólo si el potencial es alguna solución multisolitón de la ecuación KdV en algún momento . $tu(x)$ $|x|^{{-1-\varepsilon}}$ $t$

La interpretación de los solitones como algunas cuasipartículas que interactúan elásticamente se basa en la siguiente propiedad de las soluciones de la ecuación KdV. Sea en , la solución tiene la forma asintótica de solitones, luego en , también tiene la forma de solitones con las mismas velocidades pero diferentes fases, y los efectos de interacción de muchas partículas están completamente ausentes. Esto significa que el cambio de fase total del -ésimo solitón es igual a $t\to -\infty$ $norte$ $t\a +\infty$ $norte$ $k$

\Delta \varphi _{k}=\sum _{{{\stackrel {n=1}{n\neq k))))^{{N))\Delta \varphi _{{nk))

Deje que el solitón th se mueva más rápido que el th, entonces $norte$ $metro$

\Delta \varphi _{{n}}^{{+}}=\Delta \varphi _{{kn}}={\frac {1}{\varkappa _{n}}}\ln \left|{\ fracción {\varkappa _{n}+\varkappa _{m}}{\varkappa _{n}-\varkappa _{m}}}\right|

\Delta \varphi _{{k}}^{{-}}=\Delta \varphi _{{nk}}=-{\frac {1}{\varkappa _{m}}}\ln \left|{ \frac {\varkappa _{n}+\varkappa _{m}}{\varkappa _{n}-\varkappa _{m}}}\right|

es decir, la fase del solitón más rápido durante la colisión de un par aumenta en , y la fase del más lento disminuye en , y el cambio de fase total del solitón después de la interacción es igual a la suma de los cambios de fase de la interacción por pares entre sí solitón. $\Delta \varphi _{{n}}^{{+}}$ $\Delta \varphi _{{k}}^{{-}}$

Ecuación de Schrödinger no lineal

Para la ecuación de Schrödinger no lineal :

iu_{t}+u_{{xx}}+\nu \vert u\vert ^{2}u=0

con el valor del parámetro , se permiten ondas solitarias de la forma: $\nu>0$

u \left( x,t \right) = \left( \sqrt{\frac{2 \alpha}{\nu} } \right) \mathrm{ch}^{-1} \left( \sqrt{\alpha }(x - Ut) \right) e^{i(r x-st)},

donde están algunas constantes relacionadas por las relaciones: $r,s,\alpha ,U$

U=2r

s=r^{2}-\alfa

Dromion es una solución a la ecuación de Davy-Stewartson [16] .

Véase también

Modelo de Frenkel-Kontorova
Solitones ion-acústicos
Paquete de olas
Pliegue
Ecuación de seno-Gordon
Ecuaciones de Davy-Stewartson
La ecuación de Kadomtsev-Petviashvili
Ecuación de Gabitov-Turitsyn

Notas

↑ JSRussell "Report on Waves": (Informe de la decimocuarta reunión de la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia, York, septiembre de 1844 (Londres 1845), pp 311-390, Plates XLVII-LVII)
↑ JSRussell (1838), Informe del comité sobre ondas, Informe de la séptima reunión de la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia, John Murray, Londres, pp.417-496.
↑ Ablowitz M., Sigur H. Solitons y el método del problema inverso. M.: Mir, 1987, p.12.
↑ NJ Zabusky y MDKruskal (1965), Interacción de solitones en un plasma sin colisión y recurrencia de estados iniciales, Phys.Rev.Lett., 15 págs. 240-243. Artículo original
↑ JL Lam. Introducción a la teoría de los solitones . — M .: Mir , 1983. — 294 p.
↑ A. T. Filippov. Solitón de muchos lados. - S. 40-42.
↑ A. T. Filippov. Solitón de muchos lados. - S. 227-23.
↑ Solitón - artículo de la Enciclopedia física
↑ Vladimir Belinski, Enric Verdaguer. Solitones gravitacionales . - Prensa de la Universidad de Cambridge , 2001. - 258 p. - (Monografías de Cambridge sobre física matemática). — ISBN 0521805864 .
↑ N. N. Rozanov. El mundo de los solitones láser // Priroda . - 2007. - Nº 6 . Archivado desde el original el 24 de abril de 2013.
↑ A. T. Filippov. Solitón de muchos lados. - S. 241-246.
↑ A. I. Maimistov. Solitones en óptica no lineal // Electrónica cuántica . - 2010. - T. 40 , N º 9 . - S. 756-781 .
↑ Andrei I Maimístov. Solitones en óptica no lineal (inglés) // Electrónica cuántica . - 2010. - Vol. 40. - Pág. 756. - doi : 10.1070/QE2010v040n09ABEH014396 . Archivado desde el original el 9 de marzo de 2011.
↑ En el país y el mundo - Canal de TV Zvezda (enlace inaccesible) . Consultado el 5 de abril de 2015. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016. (indefinido)
↑ Sazonov S. V. Solitones ópticos en medios de átomos de dos niveles // Boletín científico y técnico de tecnologías de la información, mecánica y óptica. 2013. V. 5. Núm. 87. S. 1-22.
↑ Fuente . Consultado el 17 de mayo de 2018. Archivado desde el original el 31 de diciembre de 2019. (indefinido)

Literatura

Ablowitz M., Sigur H. Solitons y el método del problema inverso. — M .: Mir, 1987. — 480 p.
Dodd R., Eilbeck J., Gibbon J., Morris H. Solitons y ecuaciones de onda no lineales. — M .: Mir, 1988. — 696 p.
Zakharov V. E., Manakov S. V., Novikov S. P., Pitaevskii L. P. Teoría de los solitones: El método del problema inverso. - M. : Nauka, 1980. - 320 p.
Infeld E., Rowlands J. Ondas no lineales, solitones y caos. - M. : Fizmatlit, 2006. - 480 p.
Lam JL Introducción a la teoría de los solitones. — M .: Mir, 1983. — 294 p.
Newell A. Solitons en matemáticas y física. — M .: Mir, 1989. — 328 p.
Akhmediev N. N., Ankevich A. Solitons. Pulsos y haces no lineales. - M. : Fizmatlit, 2003. - 304 p. — ISBN 5-9221-0344-X .
Samarskii AA, Popov Yu. P. Métodos de diferencia para resolver problemas de dinámica de gases. - M. : URSS, 2004. - 424 p.
Whitham J. Ondas lineales y no lineales. — M .: Mir, 1977. — 624 p.
Filippov A. T. Solitón de muchos lados. - Ed. 2º, revisado. y adicional .. - M . : Nauka, 1990. - 288 p.
Baryakhtar V. G. , Zakharov V. E. , Chernousenko V. M. Integrabilidad y ecuaciones cinéticas para solitones. - Kyiv: Naukova Dumka, 1990. - 472 p. - 1000 copias. — ISBN 5-12-001120-9 .
Yaroslav V. Kartashov, Boris A. Malomed, Lluis Torner. Solitones en redes no lineales // Reseñas de Física Moderna . - 2011. - vol. 83.—Pág. 247–306.
Enfoque: Puntos de referencia: las simulaciones por computadora llevaron al descubrimiento de los solitones (inglés) // Física . - 2013. - Vol. 6. - Pág. 15. - doi : 10.1103/Física.6.15 .

Enlaces

Cuasipartículas ( Lista de cuasipartículas )
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Clasificaciones	Fermiones bosones Cualquiera Hipotético : Plectones