Ecuación de seno-Gordon

La ecuación seno - Gordon es una ecuación diferencial parcial hiperbólica no lineal en 1 + 1 dimensiones, que incluye el operador de d'Alembert y el seno de una función desconocida. Inicialmente, se consideró en el siglo XIX en relación con el estudio de superficies de curvatura negativa constante . Esta ecuación recibió mucha atención en la década de 1970 debido a sus soluciones de solitón .

Origen de la ecuación y su nombre

Hay dos formas equivalentes de la ecuación seno-Gordon. En coordenadas espacio-temporales ( reales ), denotadas ( x , t ), la ecuación es

\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\sin \varphi =0.

Al pasar a las coordenadas del cono de luz ( u , v ) cerca de las coordenadas asintóticas , donde

u={\frac {x+t}{2)),\quad v={\frac {xt}{2)),

la ecuación se convierte

{\ estilo de visualización \ varphi _ {uv} = \ pecado \ varphi.}

Esta es la forma original de la ecuación seno-Gordon en la que se consideró en el siglo XIX en relación con el estudio de superficies de curvatura gaussiana constante K = −1, también llamadas pseudoesferas . Elegimos un sistema de coordenadas en el que la cuadrícula de coordenadas u = const, v = const está dada por líneas asintóticas parametrizadas por la longitud del arco. La primera forma cuadrática de la superficie dada en tales coordenadas toma una forma especial:

ds^{2}=du^{2}+2\cos \varphi\,du\,dv+dv^{2},

donde φ es el ángulo entre las líneas asintóticas, y para la segunda forma cuadrática , L = N = 0. Luego , la ecuación de Peterson-Codazzi , que refleja la condición de compatibilidad entre la primera y la segunda forma cuadrática, conduce a la ecuación del seno-Gordon. El estudio de esta ecuación y las correspondientes transformaciones de la pseudoesfera en el siglo XIX por Bianchi y Bäcklund condujo al descubrimiento de las transformaciones de Bäcklund .

El nombre "ecuación del seno-Gordon" es un juego de palabras con la conocida ecuación de Klein-Gordon en física :

\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi =0.

La ecuación del seno-Gordon es la ecuación de Euler-Lagrange para el Lagrangiano

{\mathcal {L}}_{\text{seno-Gordon}}(\varphi ):={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _ {x}^{2})-1+\cos\varphi.

Usando la expansión de la serie de Taylor del coseno

\cos(\varphi )=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}

en un lagrangiano dado, se puede escribir como el lagrangiano de Klein-Gordon más términos de orden superior

{\begin{alineado}{\mathcal {L}}_{\text{seno-Gordon}}(\varphi)&={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^ {2}-\varphi _{x}^{2})-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {( -\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}=\\&=2{\mathcal {L}}_{\text{Klein–Gordon}}(\varphi )+\sum _{n=2}^{\infty}{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}.\end{alineado}}

Solitones

Una propiedad interesante de la ecuación seno-Gordon es la existencia de soluciones de solitones y multisolitones.

Solución de un solitón

La ecuación del seno-Gordon tiene las siguientes soluciones de un solitón:

\varphi _{\text{solitón}}(x,t):=4\arctan e^{m\gamma (x-vt)+\delta },

dónde

\gamma^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}}.

La solución de un solitón, para la cual hemos elegido una raíz positiva para , se denomina torcedura y representa un ciclo sobre la variable , que lleva una solución a una adyacente . Los estados se conocen como estados de vacío , ya que son soluciones constantes de energía cero. La solución de un solitón en la que hemos sacado una raíz negativa se llama anticurvatura . La forma de soluciones de un solitón se puede obtener aplicando la transformación de Bäcklund a la solución trivial (vacío constante) e integrando las ecuaciones diferenciales de primer orden resultantes: $\gama$ $\varphi$ $\varfi=0$ $\varphi=2\pi$ ${\ estilo de visualización \ varphi = 0 {\ pmod {2 \ pi))}$ $\gama$

\varphi '_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin {\frac {\varphi '+\varphi }{2)),

\varphi '_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\frac {\varphi '-\varphi }{2)),\quad \varphi =\varphi _{0}=0.

Las soluciones de un solitón se pueden visualizar utilizando el modelo de banda elástica sine-gordon [1] . Tomemos una bobina en el sentido de las agujas del reloj (hacia la izquierda ) de una banda elástica como una torcedura con una carga topológica . Un giro alternativo en el sentido contrario a las agujas del reloj ( hacia la derecha ) con una carga topológica sería un antidoblez. $\vartheta_{\textrm {K}}=-1$ $\vartheta_{\textrm {AK}}=+1$

Soluciones de dos solitones

Las soluciones de varios solitones se pueden obtener aplicando continuamente la transformación de Bäcklund a la solución de un solitón según lo prescrito por la red de Bianchi correspondiente a los resultados de la transformación [2] . Las soluciones de 2 solitones de la ecuación del seno-Gordon exhiben algunas propiedades características de los solitones. Las torceduras y/o antitorceduras de seno-Gordon que viajan pasan entre sí como completamente permeables, y el único efecto observado es un cambio de fase . Dado que los solitones que chocan conservan su velocidad y forma , este tipo de interacción se denomina colisión elástica .

Otras soluciones interesantes de dos solitones surgen de la posibilidad de un comportamiento de torcedura-anti-torcedura acoplado conocido como respiradero . Se conocen tres tipos de respiradores: un respirador de pie , un respirador de gran amplitud en funcionamiento y un respirador de baja amplitud en funcionamiento [3] .

Soluciones de tres solitones

Las colisiones de tres solitones entre una torcedura viajera y un respiradero permanente o una antitorcedura viajera y un respiradero permanente dan como resultado un cambio de fase del respiradero permanente. Durante una colisión entre un kink en movimiento y un respiradero de pie, el desplazamiento de este último viene dado por la relación ${\ estilo de visualización \ Delta _ {\ textrm {B}}}$

\Delta _{B}={\frac {2\operatorname {arctanh} {\sqrt {(1-\omega ^{2})(1-v_{\text{K}}^{2}) ))}{\sqrt {1-\omega^{2))))),

donde es la velocidad de torsión y es la frecuencia de respiración [3] . Si la coordenada del respirador de pie antes de la colisión es , entonces después de la colisión se convertirá en . $v_{{\texto{K}}}$ $\omega$ $x_{0}$ $x_{0}+\Delta _{{\text{B}}}$

Ecuaciones relacionadas

Ecuación de Shinus-Gordon :

\varphi _{xx}-\varphi _{tt}=\sinh \varphi .

Estas son las ecuaciones de Euler-Lagrange para el Lagrangiano

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-\cosh \varphi .

Otra muy relacionada con la ecuación del seno-Gordon es la ecuación elíptica del seno-Gordon :

\varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\sin \varphi ,

donde es una función de las variables x e y . Esta ya no es una ecuación de solitón, pero tiene muchas propiedades similares, ya que está relacionada con la ecuación de seno-Gordon por la continuación analítica (o rotación de Wick ) y = it . $\varphi$

La ecuación elíptica shinus-Gordon se puede definir de manera similar. La teoría del campo de Toda da una generalización .

Versión Cuántica

En la teoría cuántica de campos, el modelo seno-Gordon contiene un parámetro que se puede identificar con la constante de Planck. El espectro de partículas consta de un solitón, un antisolitón y un número finito (posiblemente cero) de respiradores. El número de respiraderos depende de este parámetro. Los nacimientos múltiples de partículas se anulan en las ecuaciones de movimiento.

La cuantización semiclásica del modelo seno-Gordon fue realizada por Ludwig Faddeev y Vladimir Korepin [4] . La matriz de dispersión cuántica exacta fue descubierta por Alexander y Alexei Zamolodchikov [5] . Este modelo es s - dual al modelo de Thirring .

En un volumen finito y en un rayo

Considere también el modelo seno-Gordon en un círculo, un segmento de línea recta o un rayo. Es posible seleccionar condiciones de contorno que preserven la integrabilidad del modelo dado. En el haz, el espectro de partículas contiene estados límite además de solitones y respiradores.

Modelo seno-Gordon supersimétrico

También existe un análogo supersimétrico del modelo seno-Gordon. Con el mismo éxito, se pueden encontrar condiciones de contorno que preserven la integrabilidad.

Notas

↑ Dodd RK, Eilbeck JC, Gibbon JD, Morris HC Solitons and Nonlinear Wave Equations . Prensa académica, Londres, 1982.
↑ Rogers C., Schief W.K. Bäcklund y Transformaciones de Darboux . Nueva York: Cambridge University Press, 2002.
↑ 1 2 Miroshnichenko A., Vasiliev A., Dmitriev S. Solitons and Soliton Collisions Archivado el 22 de agosto de 2010 en Wayback Machine .
↑ Faddeev L. D., Korepin V. E. Teoría cuántica de solitones (inglés) // Physics Reports. - 1978. - vol. 42 , edición. 1 . - Pág. 1-87 . - doi : 10.1016/0370-1573(78)90058-3 .
↑ Zamolodchikov A. B., Zamolodchikov A. B. Matrices S factorizadas en dos dimensiones como soluciones exactas de ciertos modelos relativistas de teoría cuántica de campos // Annals of Physics. — 1979-08-01. — vol. 120 , edición. 2 . - pág. 253-291 . - doi : 10.1016/0003-4916(79)90391-9 .

Enlaces

Polianina AD, Zaitsev VF Manual de ecuaciones diferenciales parciales no lineales . Chapman & Hall / CRC Press, Boca Ratón, 2004.
Rajaraman R. Solitones e instantones . Biblioteca personal de Holanda Septentrional, 1989.