En la teoría de categorías , un clasificador de subobjetos es un objeto especial Ω de una categoría; intuitivamente, los subobjetos de X corresponden a morfismos de X a Ω. La forma en que "clasifica" los objetos puede describirse como asignando "verdadero" a algunos elementos de X.
En la categoría de conjuntos , el clasificador de subobjetos es el conjunto Ω = {0,1}: cada subconjunto A de un conjunto arbitrario S puede asociarse con su función característica , una función de S a Ω que toma el valor 1 en el subconjunto A y 0 en su complemento, y viceversa, cualquier función de S a Ω es la función característica de algún subconjunto. Si χ A es una función característica del conjunto S , el siguiente diagrama es un cuadrado cartesiano :
Aquí verdadero : {0} → {0, 1} es una asignación que asigna 0 a 1.
En general, podemos considerar una categoría C arbitraria que tiene un objeto terminal , que denotaremos 1. Un objeto Ω de la categoría C es un clasificador de subobjetos de C si existe un morfismo
1 → Ωcon la siguiente propiedad:
para cualquier monomorfismo j : U → X existe un único morfismo χ j : X → Ω tal que el cuadrado es cartesiano , es decir, U es el límite del diagramaEl morfismo χ j se denomina morfismo clasificador del subobjeto representado por el monomorfismo j .