Clase todd

La clase Todd es una construcción que ahora se considera parte de la teoría de clases características en topología algebraica . La clase de Todd de un paquete vectorial se puede definir a través de la teoría de las clases de Chern , y ocurren dondequiera que existan clases de Chern, principalmente en topología diferencial , teoría de variedades complejas y geometría algebraica . En términos generales, la clase Todd actúa de manera opuesta a la clase Chern y está relacionada con ella como un paquete conormal está relacionado con un paquete normal .

Las clases de Todd juegan un papel fundamental en la generalización del teorema clásico de Riemann-Roch a espacios de dimensiones superiores hasta el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y el teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch .

Historia

La clase lleva el nombre de J. A. Todd quien introdujo un caso especial del concepto en geometría algebraica en 1937 antes de que se definieran las clases de Chern. La idea geométrica utilizada a veces se denomina clase de Todd-Eger .

La definición general en dimensiones superiores se debe a Hirzebruch .

Definición

Para definir la clase de Todd td ( E ), donde E es un paquete vectorial complejo en un espacio topológico X , suele bastar con limitarnos a definir paquetes de líneas en el caso de la suma de Whitney utilizando los conceptos generales de la teoría de clases características, el uso de raíces de Chern (también conocido como el principio de división ). Dejar

Q(x)={\frac {x}{1-e^{-x}}}=\sum _{i=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{i }B_{i}}{i!}}x^{i}=1+{\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {x^{2}}{12}}-{\dfrac {x ^{4}}{720}}+\cpuntos

es una serie de potencias formales con la propiedad de que los coeficientes de x n en Q ( x ) n +1 son iguales a 1 (aquí B i son números de Bernoulli ). Considere el coeficiente de x j en el producto

\prod_{i=1}^{m}Q(\beta_{i}x)\

para cualquier m > j . Este coeficiente es simétrico en β i y homogéneo en pesos j , por lo que puede expresarse como un polinomio en funciones simétricas elementales p de β. Luego se definen los polinomios de Todd y forman una secuencia multiplicativa con Q como la serie de potencia característica. $td_{j}(p_{1},\puntos,p_{j})$ ${\ Displaystyle td_ {j}}$

Si E tiene α i como raíces de Chern , entonces la clase Todd

td(E)=\prod Q(\alpha _{i})

que debe calcularse en el anillo cohomológico del espacio topológico X (o en su complemento si se consideran variedades de dimensión infinita).

La clase de Todd se puede definir explícitamente como una serie de potencias formales en las clases de Chern de la siguiente manera:

td(E)=1+c_{1}/2+(c_{1}^{2}+c_{2})/12+c_{1}c_{2}/24+(-c_{ 1}^{4}+4c_{1}^{2}c_{2}+c_{1}c_{3}+3c_{2}^{2}-c_{4}/720+\puntos

donde las clases de cohomología c i son clases de Chern en E y se encuentran en el grupo de cohomología . Si X es de dimensión finita, entonces la mayoría de los términos son cero y td ( E ) es un polinomio en las clases de Chern. ${\ estilo de visualización \ matemáticas {H} ^ {2i} (X)}$

Propiedades de la clase Todd

La clase Todd es multiplicativa:

Td^{*}(E\oplus F)=Td^{*}(E)\cdot Td^{*}(F).

Sea la clase fundamental de una sección de hiperplano. De la multiplicatividad y la sucesión exacta de Euler para la fibra tangente $\xi \in H^{2}({\mathbb {C} }P^{n})$ ${\mathbb {C} }P^{n}$

0\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)^{n+1}\to T{\mathbb {C} }P^{n}\to 0,

obtenemos [1]

Td^{*}(T{\mathbb {C} }P^{n})=\left({\dfrac {\xi }{1-e^{-\xi }}}\right)^ {n+1}.

La fórmula de Hirzebruch-Riemann-Roch

Para cualquier haz coherente F en una variedad compleja proyectiva suave M , tenemos

\chi (F)=\int _{M}Ch^{*}(F)\cuña Td^{*}(TM),

donde está su característica holomorfa de Euler , ${\ estilo de visualización \ chi (F)}$

\chi (F):=\sum _{i=0}^({\text{dim))_{\mathbb {C} }M}(-1)^{i}{\text{dim ))_{\mathbb {C} }H^{i}(F),

y Ch * (F) es su carácter Zhen .

Véase también

Género de secuencia multiplicativa

Notas

↑ CLASE 18 DE TEORÍA DE INTERSECCIÓN Archivado el 11 de diciembre de 2018 en Wayback Machine , por Ravi Vakil

Literatura

Todd JA Las invariantes aritméticas de los lugares geométricos algebraicos // Proc. Matemáticas de Londres. Soc.. - 1937. - T. 43 , núm. 1 . - S. 190-225 . -doi : 10.1112 / plms/s2-43.3.190 .
Hirzebruch F. Métodos topológicos en geometría algebraica. - Springer, 1978. - ISBN 3-540-035250-7 . — ISBN 0-387-035250-7 .
Voitsekhovskii MI Todd class // Enciclopedia de Matemáticas / Michiel Hazewinkel. - Springer Science+Business Media BV/Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .