Tipo de variedad

El género de una variedad es un homomorfismo del anillo de cobordismo de variedades cerradas en algún anillo , generalmente el anillo de números racionales .

Definición

El género φ elige un elemento φ( X ) de algún anillo K para cada variedad X tal que

φ( X ∪ Y ) = φ( X ) + φ( Y ) (donde ∪ es una unión disjunta )
φ( X × Y ) = φ( X )φ( Y )
φ( X ) = 0 si X es cobordante a cero.

En este caso, las variedades consideradas pueden equiparse con una estructura adicional, por ejemplo, una estructura de orientación o espinora.

El anillo K suele ser el campo de los números racionales, pero también se considera el anillo de las formas modulares . $\mathbb{Z} _{2}$

Las condiciones sobre φ se pueden reformular diciendo que φ es un homomorfismo del anillo de variedades de cobordismo (teniendo en cuenta la estructura) en otro anillo.

Género de series de potencias formales

Una secuencia de polinomios K 1 , K 2 ,... en variables p 1 , p 2 ... multiplicativa si

1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\ldots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\ldots)(1+r_ {1}z+r_{2}z^{2}+\ldots)

debería

\sum_{i}K_{i}(p_{1},p_{2},\ldots)z^{i}=\sum_{j}K_{j}(q_{1},q_ {2},\ldots )z^{j}\cdot \sum_{k}K_{k}(r_{1},r_{2},\ldots )z^{k}.

Si Q(z) es una serie de potencias formales en z con intersección 1, podemos definir secuencias multiplicativas

K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots)=1+K_{1}(p_{1})+K_{2}(p_{1},p_{2 })+\ldots

cómo

K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\ldots ,

donde p k es la k -ésima función simétrica elemental con incógnitas . $z_{yo}$

El género φ de variedades orientadas correspondientes a la serie de potencias Q se define como

\Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\cdots )

donde p k es la k -ésima clase de Pontryagin de X . En este caso, la serie de potencias Q se denomina serie característica del género φ.

Ejemplos

L-género y firma

El género L está determinado por la serie característica .

{{\sqrt {z}} \over \operatorname {th} ({\sqrt {z}})}=\sum_{k\geqslant 0}{2^{2k}B_{2k}z^ {k} \sobre (2k)!}=1+{z \sobre 3}-{z^{2} \sobre 45}+\ldots

¿ Dónde están los números de Bernoulli ? Primeros valores: $B_{{2k}}$

${\ estilo de visualización L_ {0} = 1}$
$L_{1}={\tfrac{1}{3}}p_{1}$
$L_{2}={\tfrac {1}{45}}(7p_{2}-p_{1}^{2})$
$L_{3}={\tfrac {1}{945}}(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3})$
$L_{4}={\tfrac {1}{14175}}(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2} p_{2}-3p_{1}^{4})$ [1] [2]

Si M es una variedad orientada suave cerrada de dimensión 4n con clases de Pontryagin , entonces el valor del género L en la clase fundamental es igual a la firma , es decir, $p_{i}=p_{i}(M)$ ${\ estilo de visualización [M]}$ ${\ estilo de visualización \ sigma (M)}$

{\ estilo de visualización \ sigma (M) = L_ {n} ([M])}

John Milnor usó el hecho de que L 2 es siempre un número entero para variedades suaves para probar la existencia de una variedad lineal de 8 dimensiones por partes sin una estructura suave.

Â-género

El género Â está determinado por la serie característica

Q(z)={{\sqrt {z}}/2 \over \operatorname {sh} ({\sqrt {z}}/2)}=1-z/24+7z^{2}/ 5760-\ldots.

Primeros valores

${\sombrero {A}}_{0}=1$
${\sombrero {A}}_{1}=-{\tfrac {1}{24}}p_{1}$
${\sombrero {A}}_{2}={\tfrac {1}{5760}}(-4p_{2}+7p_{1}^{2})$
${\hat {A}}_{3}={\tfrac {1}{967680}}(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3})$
${\hat {A}}_{4}={\tfrac {1}{464486400}}(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}- 904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4})$

Propiedades

El género Â de una variedad de espinor es un número entero,
- El género Â de una variedad de espinor de dimensión es un número entero par. ${\ estilo de visualización 4 {\ pmod {8}}}$
El género Â de una variedad de espinor es igual al índice del operador de Dirac .
Si una variedad de espinor compacta admite una métrica de curvatura escalar positiva , entonces su género Â es cero.

Véase también

Teorema del índice de Atiyah-Singer

Notas

↑ McTague, Carl (2014) "Computing Hirzebruch L-Polynomials" Archivado el 5 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
↑ Secuencia OEIS A237111._ _ _

Enlaces

Métodos topológicos de Friedrich Hirzebruch en geometría algebraica ISBN 3-540-58663-6
Friedrich Hirzebruch, Thomas Berger, Rainer Jung Colectores y formas modulares ISBN 3-528-06414-5
Milnor, Stasheff, Clases características , ISBN 0-691-08122-0
AF Kharshiladze (2001), "clase Pontryagin" (enlace no disponible) , en Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Géneros elípticos" (enlace no disponible) , Enciclopedia de Matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4