Clase de Stiefel-Whitney
La clase de Stiefel-Whitney es una clase característica específica correspondiente al paquete vectorial real . Usualmente denotado por . Toma valores en , un anillo de cohomología con coeficientes en .
![{\ estilo de visualización E \ flecha derecha X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd5e5f910f884e7f3730a258cf9882b7d33b8bb)
![{\ estilo de visualización w (E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9153ed9a54d6dcbdc2e872a21b95ea727f855567)
![{\displaystyle H^{*}(X;\;\mathbb {Z} _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a48dae191b78b1070c678bb5daa32556b849ee)
![{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b959679ac72a3c8fb9db0affc8f044c66a5f6816)
El componente en la cohomología th se denota y se llama la clase th Stiefel-Whitney del paquete , de modo que
![{\ estilo de visualización w (E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9153ed9a54d6dcbdc2e872a21b95ea727f855567)
![i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
![{\displaystyle H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce196e68a57383e0c71b8013f2d4ac0821e68e2)
![{\ estilo de visualización w_ {i} (E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b226a19147cb094e9806a24cb875d0988f641a)
![i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
![mi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
Las clases son obstrucciones en la construcción de la sección linealmente independiente delimitada en el esqueleto .
![{\ estilo de visualización w_ {i} (E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b226a19147cb094e9806a24cb875d0988f641a)
![{\displaystyle H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce196e68a57383e0c71b8013f2d4ac0821e68e2)
![{\ estilo de visualización (n-i + 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2426ea3e14ddf54b0f528bb480b8b5b775c1a9b)
![mi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Definición axiomática
Aquí y abajo, denota la cohomología singular de un espacio con coeficientes en el grupo .
![{\ estilo de visualización H ^ {i} (X; \; G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35e76fba42f95c5eb7203c5a727546f15739bf8)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![GRAMO](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
La clase de Stiefel-Whitney se define como un mapeo que asigna a un paquete un elemento del anillo de homología de tal manera que se cumplen los siguientes axiomas:
![mi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
![{\ estilo de visualización w (E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9153ed9a54d6dcbdc2e872a21b95ea727f855567)
- Naturalidad :para cualquier paquetey mapeo, dondedenota el paquete inducido correspondiente.
![{\displaystyle w(f^{*}E)=f^{*}w(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad8369f7e344a7f9be78745ee3af262a148a8db8)
![{\ estilo de visualización E \ a X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e385963fc9a729e22866cd3c05d5002c361bbf)
![{\ estilo de visualización f: X' \ a X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9454ea66877cf385ab67de95634a63d7588f9ed4)
![{\ estilo de visualización f ^ {*} E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6900d52f70c54b42932a5c6acd2c65833400a9eb)
![X'](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/865f8505e90120a535a4ee68ca253dbd8ce7eb6a)
en .![{\displaystyle H^{0}(X;\;\mathbb {Z}/2\mathbb {Z})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75217d89fbf22891133f5a70003c836deb884172)
es un generador (condición de normalización). Aquí está el paquete tautológico .![{\displaystyle H^{1}(\mathbb {R} P^{1};\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b48ae46d6756b7e3cf8b2d0d7bca481e930da3ca)
![{\ estilo de visualización \ gamma ^ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f756bf4c065c1a629d2abbffd9afb8d94bff79)
( Fórmula del producto Whitney ).
Se puede demostrar que las clases que satisfacen estos axiomas realmente existen y son únicas (al menos para un espacio paracompacto ) [1]
Construcción inicial
Las clases de Stiefel-Whitney fueron propuestas por E. Stiefel y H. Whitney como una reducción del módulo de 2 clases que miden las obstrucciones para la construcción de la sección linealmente independiente delimitada en el esqueleto . (Aquí está la dimensión de la fibra de fibración ).
![{\ estilo de visualización w_ {i} (E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b226a19147cb094e9806a24cb875d0988f641a)
![{\ estilo de visualización (n-i + 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2426ea3e14ddf54b0f528bb480b8b5b775c1a9b)
![mi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
![i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![norte](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
![mi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
Más precisamente, si es un complejo CW , Whitney definió clases en el grupo de cohomología celular th con coeficientes no estándar.
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![{\ estilo de visualización W_ {i} (E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d099007a0c97366690367efbda0532c731d1989)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Es decir, el -ésimo grupo de homotopía de la variedad de Stiefel de conjuntos de un vector linealmente independiente en la capa se toma como los coeficientes . Whitney demostró que para las clases que construyó, si y solo si el paquete restringido a -skeleton tiene una sección linealmente independiente.
![{\displaystyle V_{n-i+1}(F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/895866036ab8eed1cbc9f684ef31d6241c611854)
![{\displaystyle n-i+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe9190e044391262a2a79bdbd86cea207d73a34c)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
![{\ estilo de visualización W_ {i} (E) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b637ffdeed2ffbebae6dc8b6d1f5daffc0470f9)
![mi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
![i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![{\displaystyle n-i+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe9190e044391262a2a79bdbd86cea207d73a34c)
Dado que el grupo de homotopía de una variedad de Stiefel siempre es infinitamente cíclico o isomorfo , existe una reducción canónica de clases a clases , que se denominan clases de Stiefel-Whitney .
![{\ estilo de visualización \ pi _ {i-1} V_ {n-i + 1} (F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d10870a8d99628e40b30f5408339464bf74b3c7e)
![\mathbb{Z} _{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92aedfb5c02eff978ab963421ce930f46801657e)
![{\ estilo de visualización W_ {i} (E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d099007a0c97366690367efbda0532c731d1989)
![{\displaystyle w_{i}(E)\in H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c9679bc024398d3118cda5967d95db90cb5183b)
En particular, si , entonces estas clases simplemente coinciden.
![{\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} _{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf93e892eae4b02a21a5837de052a017db1c5ec6)
Definiciones relacionadas
- Si estamos trabajando en una variedad de dimensión , entonces cualquier producto de las clases de grado general de Stiefel-Whitney puede emparejarse con la clase fundamental de esta variedad, lo que da como resultado un elemento ; estos números se denominan números de Stiefel-Whitney del paquete vectorial. Por ejemplo, para un paquete en una variedad tridimensional, hay tres números de Stiefel-Whitney linealmente independientes que corresponden a , y . En el caso general, si la variedad es bidimensional, diferentes números de Stiefel-Whitney corresponden a particiones en una suma de términos enteros.
![norte](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![norte](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![\mathbb{Z} _{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92aedfb5c02eff978ab963421ce930f46801657e)
![\mathbb{Z} _{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92aedfb5c02eff978ab963421ce930f46801657e)
![{\ estilo de visualización w_{1}^{3))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3298d4577afdb9efd652ee7481860852c7f77648)
![{\ estilo de visualización w_{1}w_{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c40fcae9f5991325b0f65329d0753d9a090436)
![{\ estilo de visualización w_ {3))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cec2acea4fee8fac06b85443c096d240d9dabc7)
![norte](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
- Los números de Stiefel-Whitney de un paquete tangente a una variedad suave se denominan números de Stiefel-Whitney de esta variedad. Son invariantes de cobordismo .
- El mapa de reducción natural módulo dos, , corresponde al homomorfismo de Bockstein
![{\displaystyle \beta \colon H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})\to H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d3c3a0730d083489df97a2a9258f1fb016f91b9)
La imagen de la clase bajo su acción, , se llama clase Stiefel -Whitney entera .
![Wisconsin}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe22f0329d3ecb2e1880d44d191aba0e5475db68)
![{\displaystyle \beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5bf529b0039d9c109ec7e6a1f2bf3bce609f8cf)
![(yo+1)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d1bd3a07f06d94e26759b664525a5eb7570e8f)
- En particular, la tercera clase completa de Stiefel-Whitney es un obstáculo para la construcción de una estructura.
![{\displaystyle \mathrm {Girar} ^{C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45742373c9ebfe0cc6bcaeb90a41138a683322ad)
Propiedades
- Si el paquete tiene secciones que son linealmente independientes en cada punto, entonces .
![{\ Displaystyle E^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961bcc395c158e080b1f3cf38ed69576a0fca3b4)
![{\displaystyle s_{1},\;\ldots,\;s_{\ell ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae4c3e9976185e628dcb4f60c875b8cd1b482b94)
![{\displaystyle w_{k-\ell +1}=\ldots =w_{k}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21da54d0706724e628143d1de60270ec75443acb)
en .![{\displaystyle i>\mathrm {rango} (E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a160cfa4c2315aa25d3bd568ef4504b24518d119)
- La primera clase de Stiefel-Whitney desaparece si y solo si el paquete es orientable. En particular, una variedad es orientable si y solo si .
![METRO](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
![{\ estilo de visualización w_ {1} (TM) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4691a2c4d80dbcf48280ffec50b76a06cef63c2e)
- El paquete admite una estructura de espinor si y solo si la primera y la segunda clase de Stiefel-Whitney desaparecen.
- Para un paquete orientable, la segunda clase de Stiefel-Whitney se encuentra en la imagen del mapa natural (o, de manera equivalente, la llamada clase de Stiefel-Whitney del tercer entero desaparece) si y solo si el paquete admite una estructura -.
![{\displaystyle H^{2}(M,\;\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\;\mathbb {Z} _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbe0737694b1c55c26fda37adea766486a212302)
![{\displaystyle \mathrm {Girar} ^{C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45742373c9ebfe0cc6bcaeb90a41138a683322ad)
- Todos los números de Stiefel-Whitney de una variedad compacta suave se anulan si y solo si esta variedad es el límite (independientemente de la orientación) de una variedad compacta suave.
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Literatura
- Prasolov VV Elementos de la teoría de la homología.
- Husemoller D. Haces de fibra. — Springer-Verlag, 1994.
- Milnor J. , Stashev J. Clases características. - M. : Mir, 1979. - 371 p.
Notas
- ↑ consulte las secciones 3.5 y 3.6 del libro de Hughesmoller o la sección 8 en Milnor-Stashew.