Clase de Stiefel-Whitney

La clase de Stiefel-Whitney es una clase característica específica correspondiente al paquete vectorial real . Usualmente denotado por . Toma valores en , un anillo de cohomología con coeficientes en . ${\ estilo de visualización E \ flecha derecha X}$ ${\ estilo de visualización w (E)}$ $H^{*}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ $\mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$

El componente en la cohomología th se denota y se llama la clase th Stiefel-Whitney del paquete , de modo que ${\ estilo de visualización w (E)}$ $i$ $H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ ${\ estilo de visualización w_ {i} (E)}$ $i$ $mi$

w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\ldots\,.

Las clases son obstrucciones en la construcción de la sección linealmente independiente delimitada en el esqueleto . ${\ estilo de visualización w_ {i} (E)}$ $H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ ${\ estilo de visualización (n-i + 1)}$ $mi$ $i$ $X$

Definición axiomática

Aquí y abajo, denota la cohomología singular de un espacio con coeficientes en el grupo . ${\ estilo de visualización H ^ {i} (X; \; G)}$ $X$ $GRAMO$

La clase de Stiefel-Whitney se define como un mapeo que asigna a un paquete un elemento del anillo de homología de tal manera que se cumplen los siguientes axiomas: $mi$ ${\ estilo de visualización w (E)}$

Naturalidad :para cualquier paquetey mapeo, dondedenota el paquete inducido correspondiente. $w(f^{*}E)=f^{*}w(E)$ ${\ estilo de visualización E \ a X}$ ${\ estilo de visualización f: X' \ a X}$ ${\ estilo de visualización f ^ {*} E}$ $X'$
${\ estilo de visualización w_ {0} (E) = 1}$ en . $H^{0}(X;\;\mathbb {Z}/2\mathbb {Z})$
$w_{1}(\gamma^{1})$ es un generador (condición de normalización). Aquí está el paquete tautológico . $H^{1}(\mathbb {R} P^{1};\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ${\ estilo de visualización \ gamma ^ {1}}$
$w(E\oplus F)=w(E)\pequeña sonrisa w(F)$ ( Fórmula del producto Whitney ).

Se puede demostrar que las clases que satisfacen estos axiomas realmente existen y son únicas (al menos para un espacio paracompacto ) [1] $X$

Construcción inicial

Las clases de Stiefel-Whitney fueron propuestas por E. Stiefel y H. Whitney como una reducción del módulo de 2 clases que miden las obstrucciones para la construcción de la sección linealmente independiente delimitada en el esqueleto . (Aquí está la dimensión de la fibra de fibración ). ${\ estilo de visualización w_ {i} (E)}$ ${\ estilo de visualización (n-i + 1)}$ $mi$ $i$ $X$ $norte$ $F$ $mi$

Más precisamente, si es un complejo CW , Whitney definió clases en el grupo de cohomología celular th con coeficientes no estándar. $X$ ${\ estilo de visualización W_ {i} (E)}$ $i$ $X$

Es decir, el -ésimo grupo de homotopía de la variedad de Stiefel de conjuntos de un vector linealmente independiente en la capa se toma como los coeficientes . Whitney demostró que para las clases que construyó, si y solo si el paquete restringido a -skeleton tiene una sección linealmente independiente. $(i-1)$ $V_{n-i+1}(F)$ $n-i+1$ $F$ ${\ estilo de visualización W_ {i} (E) = 0}$ $mi$ $i$ $X$ $n-i+1$

Dado que el grupo de homotopía de una variedad de Stiefel siempre es infinitamente cíclico o isomorfo , existe una reducción canónica de clases a clases , que se denominan clases de Stiefel-Whitney . ${\ estilo de visualización \ pi _ {i-1} V_ {n-i + 1} (F)}$ $\mathbb{Z} _{2}$ ${\ estilo de visualización W_ {i} (E)}$ $w_{i}(E)\in H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$

En particular, si , entonces estas clases simplemente coinciden. ${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} _{2))$

Definiciones relacionadas

Si estamos trabajando en una variedad de dimensión , entonces cualquier producto de las clases de grado general de Stiefel-Whitney puede emparejarse con la clase fundamental de esta variedad, lo que da como resultado un elemento ; estos números se denominan números de Stiefel-Whitney del paquete vectorial. Por ejemplo, para un paquete en una variedad tridimensional, hay tres números de Stiefel-Whitney linealmente independientes que corresponden a , y . En el caso general, si la variedad es bidimensional, diferentes números de Stiefel-Whitney corresponden a particiones en una suma de términos enteros. $norte$ $norte$ $\mathbb{Z} _{2}$ $\mathbb{Z} _{2}$ ${\ estilo de visualización w_{1}^{3))$ ${\ estilo de visualización w_{1}w_{2))$ ${\ estilo de visualización w_ {3))$ $norte$ $norte$
- Los números de Stiefel-Whitney de un paquete tangente a una variedad suave se denominan números de Stiefel-Whitney de esta variedad. Son invariantes de cobordismo .
El mapa de reducción natural módulo dos, , corresponde al homomorfismo de Bockstein ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{2))$ $\beta \colon H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})\to H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} ).$

La imagen de la clase bajo su acción, , se llama clase Stiefel -Whitney entera .

Wisconsin}

\beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} )

(yo+1)

En particular, la tercera clase completa de Stiefel-Whitney es un obstáculo para la construcción de una estructura. $\mathrm {Girar} ^{C}$

Propiedades

Si el paquete tiene secciones que son linealmente independientes en cada punto, entonces . ${\ Displaystyle E^{k}}$ ${\displaystyle s_{1},\;\ldots,\;s_{\ell ))$ $w_{k-\ell +1}=\ldots =w_{k}=0$
${\ estilo de visualización w_ {i} (E) = 0}$ en . $i>\mathrm {rango} (E)$
La primera clase de Stiefel-Whitney desaparece si y solo si el paquete es orientable. En particular, una variedad es orientable si y solo si . $METRO$ ${\ estilo de visualización w_ {1} (TM) = 0}$
El paquete admite una estructura de espinor si y solo si la primera y la segunda clase de Stiefel-Whitney desaparecen.
Para un paquete orientable, la segunda clase de Stiefel-Whitney se encuentra en la imagen del mapa natural (o, de manera equivalente, la llamada clase de Stiefel-Whitney del tercer entero desaparece) si y solo si el paquete admite una estructura -. $H^{2}(M,\;\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\;\mathbb {Z} _{2})$ $\mathrm {Girar} ^{C}$
Todos los números de Stiefel-Whitney de una variedad compacta suave se anulan si y solo si esta variedad es el límite (independientemente de la orientación) de una variedad compacta suave. $X$

Literatura

Prasolov VV Elementos de la teoría de la homología.
Husemoller D. Haces de fibra. — Springer-Verlag, 1994.
Milnor J. , Stashev J. Clases características. - M. : Mir, 1979. - 371 p.

Notas

↑ consulte las secciones 3.5 y 3.6 del libro de Hughesmoller o la sección 8 en Milnor-Stashew.