Clase fundamental

La clase fundamental es la clase de homología de una variedad orientada , que corresponde a la "variedad completa". Intuitivamente, la clase fundamental puede pensarse como la suma de simples de la dimensión máxima de una triangulación apropiada de la variedad.

La clase fundamental de una variedad generalmente se denota . $METRO$ ${\ estilo de visualización [M]}$

Definición

Colector cerrado orientable

Si una variedad de dimensiones es conexa , orientable y cerrada , entonces el -ésimo grupo de homología es cíclico infinito : . En este caso, la orientación de la variedad está determinada por la elección del elemento generador del grupo o isomorfismo . El elemento padre se llama la clase fundamental . $METRO$ $norte$ $norte$ $H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} \to H_{n}(M,\mathbb {Z} )$

Si una variedad orientable es desconectada, entonces, como clase fundamental, se puede asociar formalmente la suma de las clases fundamentales de todos sus componentes conectados . La comparación es formal, ya que esta suma no es un elemento generador para el grupo . ${\displaystyle M=\bigcup \limits _{i}M_{i))$ ${\ estilo de visualización \ suma \ límites _ {i} [M_ {i}]}$ $Mi}$ $H_{n}(M,\mathbb {Z} )=\bigoplus \limits _{i}H_{n}(M_{i},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} \oplus \ puntos \oplus \mathbb {Z}$

Variedad no orientable

Para una variedad no orientable , si el grupo es conexo y cerrado, entonces . El elemento generador de un grupo se denomina clase fundamental de una variedad no orientable . $H_{n}(M;\mathbb{Z} )=0$ $METRO$ ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2})$ $H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})$ $METRO$

${\matemáticas {Z}}_{2}$ La clase fundamental de una variedad se utiliza en la definición de los números de Stiefel-Whitney .

Colector con límite

Si es una variedad orientable compacta con frontera , entonces el -ésimo grupo de homología relativa es cíclico infinito : . El elemento generador de un grupo se denomina clase fundamental de una variedad con frontera. $METRO$ $\parcial M$ $norte$ $H_{n}(M,\M parcial)\cong \mathbb {Z}$ $H_{n}(M,\M parcial)$

Dualidad de Poincaré

El principal resultado de la teoría homológica de las variedades es la dualidad de Poincaré entre los grupos de homología y cohomología de una variedad. El isomorfismo de Poincaré correspondiente

D:H^{k}(M;\mathbb {Z} )\to H_{nk}(M;\mathbb {Z} )

(para orientado)

D:H^{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{nk}(M;\mathbb {Z}_{2})

(para no orientable)

variedad se define por la clase fundamental correspondiente de la variedad:

D(\alpha )=[M]\fruncir el ceño \alpha

donde denota la multiplicación de las clases de homología y cohomología. $\fruncir el ceño$ $\fruncir el ceño$

Grado de visualización

Sean , variedades cerradas orientadas conectadas de la misma dimensión. Si es una aplicación continua , entonces $METRO$ $norte$ $f:M\a N$

f_{\ast}[M]=k[N]

donde es el homomorfismo inducido (de anillos de grupo) y es el grado de mapeo . ${\ Displaystyle f_ {\ ast}}$ $F$ $k=\grados(f)$ $F$

Literatura

A. Fomenko, D. B. Fuchs . Curso de topología de homotopía - M: Nauka, 1989.
A. Dold Conferencias sobre topología algebraica - M: Mir, 1976.