Celularidad

La celularidad ( número de Suslin ) es una característica topológica de un espacio topológico determinado por el número máximo de conjuntos separados por pares abiertos de . Es un invariante cardinal y se denota por . $X$ $X$ ${\ estilo de visualización c (X)}$

Como ocurre con muchas invariantes topológicas generales , la celularidad finita no tiene interés; se considera que no es menos que contable (i.e. ). $\aleph_0$

Herencia

No es un invariante hereditario , es decir, un subespacio puede tener una celularidad mayor que . Por ejemplo, basta con multiplicar un punto de un segmento un número incontable de veces, entonces el subespacio de los ceros multiplicados tendrá mayor celularidad que el segmento, es decir, más , es decir, . Otro ejemplo de no herencia de la celularidad es el plano de Nemytsky . $U\subseteq X$ ${\ estilo de visualización c (X)}$ ${\ estilo de visualización 0}$ $[0,1]$ $\aleph_0$ $\aleph _{0}=c(X)<hc(X)={\mathfrak {c))$

Conexión con otras invariantes

La celularidad del espacio no supera su densidad (que, a su vez, no supera el peso ): . Además, la celularidad no supera a la propagación (que tampoco supera al peso): . $c(X)\leqslant d(X)\leqslant w(X)$ $c(X)\leqslant hc(X)\leqslant w(X)$

Para espacios ordenados linealmente, su carácter no excede la celularidad: . Además, para espacios ordenados linealmente, la celularidad coincide con la dispersión y el número hereditario de Lindelöf : . ${\ estilo de visualización \ chi (X) \ leqslant c (X)}$ ${\ estilo de visualización c (X) = hc (X) = hl (X)}$

La celularidad de un espacio topológico no excede su número de Lindelöf y su extensión (que, a su vez, no excede el número de Lindelöf): . $X$ $e(X)\leqslant l(X)\leqslant c(X)$

Ejemplos

Para una línea real : . Para números naturales y enteros: . $\matemáticas {R}$ ${\displaystyle c(\mathbb {R} )=\aleph _{0))$ ${\displaystyle c(\mathbb {Z} )=c(\mathbb {N} )=\aleph _{0))$

Para un espacio de potencia discreto : . $\tau$ $c(D_{\tau})=\tau$

Para erizo espinoso : . (Cuando (basta con llevar un conjunto abierto en cada "aguja" que no sobrepase la "aguja"). $\tau$ ${\ estilo de visualización c (J (\ tau)) = \ tau}$ ${\ estilo de visualización \ tau \ geqslant \ aleph _ {0))$

En general, para un subespacio del espacio euclidiano : . $tu$ $\mathbb{R} ^{n}$ ${\displaystyle c(U)\leqslant \aleph _{0))$

Literatura

Engelking, Ryszard. Topología general. - M .: Mir , 1986. - S. 103.333. — 752 pág.