Conjunto linealmente ordenado

Un conjunto linealmente ordenado ( cadena ) es un conjunto parcialmente ordenado en el que cualquier par de elementos es comparable, es decir, para dos elementos cualesquiera y o tiene lugar . $a$ $b$ $a\leqslant b$ $b\leqslant a$

Uno de los conceptos centrales en la teoría del orden ; juega un papel importante en el álgebra general , en particular, se estudian especialmente los grupos ordenados , los anillos ordenados y los campos ordenados . El caso especial más importante de conjuntos ordenados linealmente son los conjuntos completamente ordenados .

Definiciones relacionadas

Una sección de un conjunto ordenado linealmente es una partición del mismo en dos subconjuntos y por tanto , y para cualquier y : . Las clases y se denominan clases de corte inferior y superior, respectivamente. $PAGS$ $A$ $B$ $A\taza B=P$ $A\cap B=\varnada$ $a \ en A$ $b\en B$ $a\leqslant b$ $A$ $B$

Se distinguen los siguientes tipos de secciones:

salto : la clase baja tiene el elemento más grande y la clase alta tiene el más pequeño;
Corte de Dedekind : no hay el elemento más pequeño en la clase alta o no hay el elemento más grande en la clase baja, pero no ambos;
brecha : la clase baja no tiene el elemento más grande y la clase alta no tiene el más pequeño.

Un conjunto ordenado linealmente se llama continuo si todas sus secciones son Dedekind.

Un subconjunto de un conjunto ordenado linealmente se llama denso si cada intervalo no singleton del conjunto contiene elementos que pertenecen a . $D$ $PAGS$ $PAGS$ $D$

Propiedades

Un subconjunto de un conjunto ordenado linealmente está ordenado linealmente.

Cualquier elemento máximo (mínimo) de un conjunto ordenado linealmente resulta ser el más grande (el más pequeño). [una]

El conjunto de números reales ordenado linealmente se puede caracterizar como un conjunto ordenado linealmente continuo que no tiene ni los elementos más grandes ni los más pequeños, pero contiene un subconjunto denso numerable .

Cualquier conjunto numerable linealmente ordenado es isomorfo a algún subconjunto del segmento con el orden heredado de . $[0, 1]$ $\matemáticas {R}$

Una red es isomorfa a un subconjunto de un conjunto de enteros ordenados linealmente si y solo si cada una de sus subredes es un retracto . $L$

Notas

↑ Lo contrario siempre es cierto: el elemento más grande en cualquier conjunto es el máximo