Cohomología de dolbeault

La cohomología de Dolbeault es análoga a la cohomología de de Rham para variedades complejas . El nombre de Pierre Dolbo .

Sea M una variedad compleja. Luego, los grupos de cohomología de Dolbeault dependen del par de números enteros p y q y se construyen a partir de formas diferenciales complejas de grado ( p , q ). $H^{p,q}(M,\mathbb {C} )$

Construcción de grupos de cohomología

Sea Ω p , q un conjunto vectorial de formas diferenciales complejas de grado ( p , q ) y

{\bar {\parcial}}:\Gamma (\Omega ^{p,q})\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1})

es el operador de Dolby . Recordar que

{\bar {\parcial}}^{2}=0.

Este operador se puede utilizar para definir la cohomología. En particular, defina la cohomología como el espacio cociente

H^{p,q}(M,\mathbb {C} )=\ker \left({\bar {\parcial)):\Gamma (\Omega ^{p,q},M)\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1},M)\right)/{\bar {\parcial}}\Gamma (\Omega ^{p,q-1}).

Teorema de Dolbeault

El teorema de Dolbeault es un análogo complejo del teorema de De Rham . Afirma que la cohomología de Dolbeault es isomorfa a la cohomología del haz de formas diferenciales holomorfas . Eso es

H^{p,q}(M)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p})

donde está la gavilla de formas p holomorfas en M . $\Omega^{p}$

Literatura

Griffiths F., Harris J. Principios de geometría algebraica: Per. del inglés.- M . : Mir, 1982.
Dolbeault, Pierre (1953). Sur la cohomologie des varietes analytiques complexs. Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 236 : 175-277.