Cohomología de De Rham

La cohomología de De Rham es una teoría de cohomología basada en formas diferenciales y aplicada en las teorías de variedades suaves y algebraicas .

Nombrado en honor al matemático suizo de Rham . El grupo de cohomología de De Rham -dimensional de una variedad se suele denotar . $k$ $METRO$ $H_{{{\mathrm {dR}}}}^{k}(M)$

Colectores lisos

Definiciones

A través del complejo cochain

Un complejo de Rham es un complejo cocadena de formas diferenciales exteriores en una variedad suave con un diferencial exterior como diferencial. $METRO$ $d\,^{k}$

0\a \Omega ^{0}(M){\stackrel {d^{0}}{\a }}\Omega ^{1}(M){\stackrel {d^{1}}{ \a }}\Omega ^{2}(M){\stackrel {d^{2}}{\a }}\Omega ^{3}(M)\a \ldots

Aquí está el espacio de funciones suaves en , es el espacio de 1-formas , es decir, es el espacio de -formas. Tenga en cuenta que El grupo de cohomología -dimensional de este complejo cocadena es su medida de exactitud en el -ésimo término y se define como $\Omega^{0}(M)$ $METRO$ $\Omega^{1}(M)$ $\Omega^{k}(M)$ $k$ $d^{k+1}d^{k}=0$ $k$ ${\ Displaystyle H ^ {k}}$ $k$

H^{k}(\Omega ^{\bullet },\;d^{\bullet })=\operatorname {Ker} d^{k}/\operatorname {Im} d^{k-1} .

El formulario se llama cerrado si , en este caso . ${\ estilo de visualización \ alfa \ en \ Omega ^ {k} (M)}$ ${\ estilo de visualización d ^ {k} \ alfa = 0}$ $\alpha \in \operatorname {Ker} d^{k}$
Una forma se llama exacta si , para algunos , eso es . ${\ estilo de visualización \ alfa \ en \ Omega ^ {k} (M)}$ ${\ estilo de visualización \ alfa = d ^ {k-1} \ gamma}$ ${\ estilo de visualización \ gamma \ en \ Omega ^ {k-1}}$ $\alpha \in \operatorname {Im} d^{k-1}$

Tenga en cuenta que todas las formas exactas están cerradas.

Como una clase de equivalencia de formas

Más geométricamente, la idea de la cohomología de De Rham es clasificar formas cerradas en una variedad: dos formas cerradas y se dice que son cohomológicas si difieren en una forma exacta, es decir, su diferencia es una forma exacta. Esta definición genera una relación de equivalencia sobre el conjunto de formas cerradas en . $\alfa$ $\beta$ $\Omega^{k}(M)$ $\alpha -\beta =d\gamma$ $\Omega^{k}(M)$

La clase cohomológica de una forma es el conjunto de todas las formas cerradas que se diferencian por una forma exacta, es decir, el conjunto de formas de la forma . $[\alfa]$ $\alfa$ $\alfa$ $\alfa +d\gamma$

$k$ El grupo de cohomología de De Rham -dimensional es el grupo cociente de todas las formas cerradas por el subgrupo de formas exactas. $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $\Omega^{k}(M)$

Tenga en cuenta que para una variedad con componentes conectados , $METRO$ $norte$

H_{{\mathrm {dR}}}^{0}(M)\cong {\mathbf {R}}^{N}.

De hecho, las formas de grado 0 son funciones escalares. Cerradura significa que las funciones tienen derivada cero, es decir, son constantes en cada componente conexa de la variedad.

Teorema de De Rham

El teorema de Stokes es una expresión de la dualidad entre la cohomología de De Rham y la homología del complejo de cadena . Es decir, la consecuencia clave del teorema es que "las integrales de una forma cerrada sobre cadenas homólogas son iguales": si es una forma cerrada y son cadenas homólogas ( es decir, es el límite de una cadena dimensional ) , después $\omega$ $k$ $METRO$ $norte$ $k$ $Minnesota$ $(k+1)$ $W$

\int \limites _{M}\omega =\int \limits _{N}\omega ,

ya que su diferencia es una integral

\int \limits _{{\parcial W}}\omega =\int \limits _{W}\,d\omega =\int \limits _{W}0=0.

Por lo tanto, el emparejamiento de formas diferenciales y cadenas a través de la integración define un homomorfismo de la cohomología de Rham al grupo de cohomología singular . El teorema de De Rham , demostrado por Georges de Rham en 1931, establece que en variedades suaves esta aplicación es un isomorfismo : $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $H^{k}(M;\;{\mathbf R})$

H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)\cong H^{k}(M;\;{\mathbf R}).

El producto exterior dota a la suma directa de grupos de la estructura de un anillo . Una estructura similar en cohomología singular viene dada por -multiplicación . El teorema de De Rham también establece que estos dos anillos de cohomología son isomorfos como anillos graduados . $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $H^{k}(M;\;{\mathbf R})$ $\sonreír$

Variedades algebraicas

Definición

De manera bastante análoga al caso suave, cada variedad algebraica sobre un campo está asociada con un complejo de formas diferenciales regulares . $X$ $k$

Los grupos de cohomología de De Rham de una variedad se denominan grupos de cohomología . $X$ $H_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/k)$

Casos especiales de cohomología de De Rham

Si es una variedad suave y completa y la característica es un campo , entonces la cohomología de De Rham es una cohomología de Weil . $X$ ${\mathrm {char}}\,k=0$
Si la variedad es una variedad afín suave y el campo lo es, entonces el siguiente análogo del teorema de De Rham es verdadero : $X$ $k=\mathbb {C}$ $H_{{{\mathrm {dR}}}}^{p}(X/k)\cong H^{p}(X_{{an}},\;{\mathbb {C}}),$

donde es la variedad analítica compleja correspondiente a la variedad algebraica .

X_{{un}}

X

Por ejemplo, si es el complemento de una hipersuperficie algebraica en , entonces la cohomología se puede calcular utilizando formas diferenciales racionales con polos en esta hipersuperficie. $X$ $P^{n}(\mathbb {C} )$ $H^{p}(X,\;\mathbb {C} )$ $P^{n}(\mathbb {C} )$

Cohomología relativa de Rham

Para cualquier morfismo , se puede definir el llamado complejo relativo de Rham $f\dos puntos X\a S$

\sum _{{p\leqslant 0}}\Gamma (\Omega _{{X/S}}^{p}),

lo que conduce a la cohomología relativa de Rham . $H_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/S)$

Si la variedad es el espectro del anillo , y , entonces el complejo relativo de Rham coincide con . $X$ ${\mathrm {Especificación}}\,A$ $S={\mathrm {Especificación}}\,B$ $\Lambda \Omega_{{A/B}}^{1}$

La cohomología de un complejo de gavillas sobre se llama gavillas de cohomología relativa de Rham . Si es un morfismo propio, entonces estos haces son coherentes en . ${\mathcal {H}}_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/S)$ $\sum_{{p\leqslant 0}}f_{*}\Omega_{{X/S}}^{p}$ $S$ $F$ $S$

Literatura

Bott, R., Tu, L. V. Formas diferenciales en topología algebraica. — M .: Platon, 1997. — 336 p. - ISBN 5-80100-280-4 . .
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometría moderna: métodos de teoría de la homología. — M .: Nauka, 1984. — 343 p.
de Ram, J. Variedades diferenciables = Varietes diferenciables. — M.: KomKniga, 2006. — 250 p. — ISBN 5-484-00341-5 . .