Factorizar el espacio sobre el subespacio

Un espacio cociente por subespacio en álgebra lineal es un espacio cociente definido para un espacio vectorial por su subespacio como un espacio sobre un conjunto cociente con respecto a la relación de equivalencia . Designación - . $(X,\;\mathbb {F},\;+,\;\cdot)$ $(X_{0},\;\mathbb {F},\;+,\;\cdot)$ $X$ ${\displaystyle x\sim y\Leftrightarrow xy\in X_{0))$ ${\ estilo de visualización X/X_{0))$

Mapeo de factores

Una aplicación que asocia cada elemento de la clase de equivalencia en la que se encuentra se denomina aplicación de cociente. $\varphi \colon X\mapsto X/X_{0}$ $X$

El mapeo de factores hace posible definir una estructura vectorial especificando operaciones de la siguiente manera: ${\ estilo de visualización X/X_{0))$ ${\ estilo de visualización \ langle +, \; \ cdot \ rangle}$

$x_{1}+x_{2}=\varphi (\varphi ^{-1}(x_{1})+\varphi ^{-1}(x_{2}))\qquad \forall x_{ 1},\;x_{2}\en X/X_{0};$
$\lambda x=\varphi (\lambda \varphi ^{-1}(x))\qquad \forall x\in X/X_{0},\;\lambda \in \mathbb {F} .$

El mapeo factorial en dicho espacio es lineal.

Propiedades de mapeo de factores:

$\varphi \in {\mathcal {L}}(X,\;X/X_{0});$
${\displaystyle \mathrm {im} \,{\varphi}=X/X_{0))$ , es decir , un epimorfismo ; $\varphi$
${\ estilo de visualización \ ker \ varphi = X_ {0}}$ , que es equivalente a . ${\ estilo de visualización \ varphi ^ {-1} (0) = X_ {0))$

Definiciones relacionadas

El concepto de espacio cociente por un subespacio permite definir:

coimagen de un mapeo lineal ; $T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\colon \mathrm {coim} \,T=X/\ker T$
cokernel del mapeo lineal siempre que . $T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\colon \mathrm {coker} \,T=Y/\mathrm {im} \,T$ $\mathrm {im} \,T\in \mathrm {Lat} (Y)$
codimensión ; $X_{0}\in \mathrm {Lat} (X)\colon \mathrm {codim} \,X_{0}=\dim X/X_{0}$
Factor-seminorma en espacio cociente generado por la seminorma . $p\colon \forall w\in X/X_{0}\quad p_{X/X_{0}}(w)=\inf p(\varphi ^{-1}(w))$

Teoremas relacionados

Existencia de reducción por coimagen:

\forall T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\,\exists {!}\,T_{c}\in {\mathcal {L}}(\mathrm {coim} \,T,\;Y)\colon T=T_{c}\varphi ,\;\ker T_{c}=\{0\}.

Teoremas de isomorfismo :

\mathrm {coim} \,T\simeq \mathrm {im} \,T

X_{0},\,X_{1}\in \mathrm {Lat} (X):X=X_{0}\oplus X_{1}\Rightarrow X/X_{0}\simeq X_{1 };\,X/X_{1}\simeq X_{0}

Teorema de continuidad del mapeo de factores :

\varphi \in {\mathcal {B}}(X,\;X/X_{0}).

$\varphi ^{-1}(\ker p_{X/X_{0)))=\mathrm {cl} \,X_{0}.$
${\ estilo de visualización (X/X_{0},\;p_{X/X_{0)))}$ — Hausdorff . $\Leftrightarrow X_{0}=\mathrm {cl} \,X_{0}$

La propiedad de Hausdorff de un espacio semi-normado, como es bien sabido, permite[ aclarar ] definir la norma sobre ella , y la métrica por la norma.

Un signo de integridad - completo - completo. $X\dos puntos X_{0},\;X/X_{0}$ ${\ estilo de visualización \ flecha derecha X}$
$X_{0}$ - hiperplano . $\Leftrightarrow \mathrm {codim} \,X_{0}=1$
Desigualdades para el factor seminorma subordinada:

\forall w\in X/X_{0},\;\forall x\in \varphi ^{-1}(w)\;p_{X/X_{0}}(w)\leqslant p( X);

\forall w\in X/X_{0},\;\forall \varepsilon >0\;\exists x\in \varphi ^{-1}(w)\colon p(x)\leqslant (1 +\varepsilon)p_{X/X_{0}}(w).

Lema copo de nieve .

Literatura

Kutateladze S. S. Fundamentos del análisis funcional. - 3ra ed. - Novosibirsk: Editorial del Instituto de Matemáticas, 200. - 336 p. — ISBN 5-86134-074-9 . .