Diferencial kahler

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Los diferenciales de Kähler son una adaptación de formas diferenciales para anillos o esquemas conmutativos arbitrarios . Este concepto fue introducido por Erich Köhler en la década de 1930.

Definición

Sean y sean anillos conmutativos y sea un homomorfismo de anillos . Un ejemplo importante es cuando es un campo y es un álgebra unitaria ( como el anillo de coordenadas de una variedad afín ). Los diferenciales de Kähler formalizan la observación de que la derivada de un polinomio es nuevamente un polinomio. En este sentido, el concepto de diferenciación puede expresarse puramente algebraicamente. Esta observación se puede convertir en la definición del módulo de diferenciales $R$ $S$ ${\ estilo de visualización \ varphi: R \ a S}$ $R$ $S$ $R$

{\ estilo de visualización \ Omega _ {S/R}.}

de varias maneras equivalentes.

Definición por derivaciones

$R$ La derivación -lineal de un álgebra es un homomorfismo de -módulos en un -módulo que contiene una imagen en su núcleo y satisface la regla de Leibniz . El módulo de los diferenciales de Kähler se define como un módulo para el que existe una derivación universal . Al igual que con otras propiedades universales, esto significa que d es la mejor derivación posible, en el sentido de que cualquier otra derivación puede obtenerse de ella por composición con el homomorfismo del módulo -. En otras palabras, la composición con d induce, para cualquier -módulo M , un isomorfismo de -módulos $S$ $R$ $d\colon S\to M$ $S$ $METRO$ $R$ $d(fg)=f\,dg+g\,df$ $S$ ${\ Displaystyle \ Omega _ {S/R}}$ ${\displaystyle d\colon S\to \Omega _{S/R))$ $S$ $S$ $S$

\operatorname {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M){\xrightarrow {\cong}}\operatorname {Der} _{R}(S,M).

La construcción de Ω S / R y d se puede hacer construyendo un módulo libre con un generador ds para cada uno de y factorizando por las relaciones $S$ $s$ $S$

dr = 0
re ( s + t ) = ds + dt ,
re ( st ) = s dt + t ds ,

para todos de y todos y de . La diferenciación universal se traduce en . De las relaciones se sigue que la derivación universal es un homomorfismo de -módulos. $r$ $R$ $s$ $t$ $S$ $s$ $ds$ $R$

Definición por ideal de aumento

Otra construcción se realiza considerando el ideal en el producto tensorial , definido como el núcleo del mapa de multiplicación . Entonces, el módulo de los diferenciales de Kähler se puede definir como [1] Ω S / R = I / I 2 , y la derivación universal se puede definir como un homomorfismo d definido por la fórmula $yo$ $S\otimes_{R}S$ ${\displaystyle S\otimes_{R}S\to S,\Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\cdot t_{i))$

ds=1\otimes ss\otimes 1.

Para ver que esta construcción es equivalente a la anterior, nótese que I es el núcleo de la proyección dada por . Por lo tanto tenemos: $S\otimes_{R}S\to S\otimes_{R}R$ $\Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1$

S\otimes_{R}S\equiv I\oplus S\otimes_{R}R.

Entonces puede identificarse con I por el mapeo inducido por la proyección complementaria . Esto se identifica con el -módulo generado por los generadores formales de from , y es un homomorfismo de -módulos que lleva cualquier elemento a cero. La factorización por impone exactamente la regla de Leibniz . $S\otimes_{R}S/S\otimes_{R}R$ $\Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\otimes t_{i}-\Sigma s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1$ $yo$ $S$ $ds$ $s$ $S$ $d$ $R$ $R$ $yo^{2}$

Ejemplos y propiedades básicas

Para cualquier anillo conmutativo R , las diferenciales de Kähler del anillo polinomial forman un módulo S libre de rango n generado por las diferenciales de las variables: $S=R[t_{1},\dots,t_{n}]$

\Omega_{R[t_{1},\dots,t_{n}]/R}^{1}=\bigoplus_{i=1}^{n}R[t_{1},\ puntos t_{n}]\,dt_{i}.

Los diferenciales de Kähler son consistentes con la extensión escalar, en el sentido de que para el segundo R -álgebra R ′ y para hay un isomorfismo $S'=R'\otimes_{R}S$

\Omega_{S/R}\otimes_{S}S'\cong \Omega_{S'/R'}.

En particular, los diferenciales de Kähler son consistentes con las localizaciones , en el sentido de que si W es un subconjunto multiplicativo de S , entonces hay un isomorfismo

W^{-1}\Omega _{S/R}\cong \Omega _{W^{-1}S/R}.

Dados dos homomorfismos , entonces hay una secuencia exacta corta de módulos T $R\a S\a T$

\Omega_{S/R}\otimes_{S}T\to \Omega_{T/R}\to \Omega_{T/S}\to 0.

Si para algún ideal I , entonces el término desaparece y la secuencia continúa hacia la izquierda de la siguiente manera: $T=S/I$ ${\ estilo de visualización \ Omega _ {T/S}}$

I/I^{2}{\xrightarrow {[f]\mapsto df\otimes 1}}\Omega_{S/R}\otimes_{S}T\to \Omega_{T/R} \a 0.

Diferenciales Kähler para esquemas

Dado que los diferenciales de Kähler son consistentes con la localización, se pueden construir sobre un esquema general aplicando cualquiera de las definiciones anteriores para esquemas afines y uniéndolos. Sin embargo, la segunda definición tiene una interpretación geométrica que se globaliza inmediatamente. En esta interpretación , I representa un ideal que define una diagonal en el producto de fibra Spec( S ) consigo mismo sobre Spec( S ) → Spec( R ) . Esta construcción es más geométrica, en el sentido de que refleja el concepto de la primera vecindad infinitesimal de la diagonal, con la ayuda de funciones que se anulan en ella módulo funciones que se anulan en el segundo orden. Además, esto se puede generalizar a un morfismo de esquema arbitrario , definido como el ideal de la diagonal en el producto de fibra . El haz cotangente , junto con la derivación , definida de manera similar a la anterior, es universal entre las derivaciones -lineales de -módulos. Si U es un subesquema afín abierto de X cuya imagen en Y está contenida en un subesquema afín abierto de V , entonces el haz cotangente está restringido a un haz sobre U , que también es universal. Por lo tanto, esta es la gavilla asociada con el módulo de los diferenciales de Kähler para los anillos correspondientes a U y V. $f\dos puntos X\a Y$ $\mathcal{yo}$ ${\ estilo de visualización X \ veces _ {Y} X}$ $\Omega _{X/Y}={\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}$ $d\colon {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}$ $f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}$ ${\mathcal {O}}_{X}$

De manera similar al caso algebraico conmutativo, existen secuencias exactas asociadas con los morfismos de esquema. Si se dan morfismos de esquemas y , entonces existe una secuencia exacta de poleas en $f:X\a Y$ ${\ estilo de visualización g: Y \ a Z}$ $X$

f^{*}\Omega_{Y/Z}\to \Omega_{X/Z}\to \Omega_{X/Y}\to 0

Además, si es un subesquema cerrado dado por un haz de ideales , entonces hay una secuencia exacta de haces ${\ estilo de visualización Z \ subconjunto X}$ $\mathcal{yo}$

{\frac {\mathcal {I}}({\mathcal {I}}^{2}}}\to \Omega _{X/Y}\otimes {\mathcal {O}}_{Z} \a \Omega _{Z/Y}\a 0

sobre el $Z$

Notas

↑ Hartshorne, 1981 , pág. 225.

Literatura

Hartshorne R. Geometría algebraica / transl. De inglés. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.