Función de valor complejo

Una función de valor complejo en la teoría de funciones de una variable real es una función que toma valores complejos : . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$

Tal función se puede representar como:

{\ estilo de visualización f (x) = u (x) + iv (x)}

donde y son funciones reales . En este caso, la función se llama parte real de la función y - su parte imaginaria. En conexión con tal descomposición, todos los conceptos introducidos para funciones de valor real se transfieren naturalmente a funciones de valor complejo, en particular, una función de valor complejo se considera continua ( diferenciable , analítica , medible , armónica ) si sus partes real e imaginaria son funciones continuas (diferenciables, analíticas, medibles, armónicas). La integral de una función de valor complejo se define de la siguiente manera: $tu(x)$ $v(x)$ $tu(x)$ $f(x)$ $v(x)$ ${\ estilo de visualización f (x) = u (x) + iv (x)}$

\int \limits _{a}^{b}f(x)=\int \limits _{a}^{b}u(x)dx+i\int \limits _{a}^{b }v(x)dx

Sin embargo, no todas las propiedades que son válidas para las partes real e imaginaria simultáneamente pueden extenderse a funciones de valores complejos. En particular, el teorema de Rolle no se cumple para funciones de valor complejo en el caso general , por ejemplo, la derivada de una función de valor complejo de un argumento real:

{\ estilo de visualización \ sigma (x) = e ^ {ix}}

no se anula en el intervalo , aunque en los puntos extremos del segmento los valores de la función son iguales a . ${\ estilo de visualización [0,2 \ pi]}$ ${\ estilo de visualización (\ sigma (0) = \ sigma (2 \ pi) = 1)}$

Literatura

Titchmarsh E. Teoría de funciones. - 2ª ed., revisada. — M .: Nauka , 1980 . — 464 pág.