Fin del espacio topológico

El final de un espacio topológico es, en términos generales, un componente conectado de su "límite ideal". Es decir, cada extremo es una forma de avanzar hacia el infinito en el espacio.

Agregar un punto en cada extremo da como resultado una compactación del espacio original, conocida como compactación finita .

Definición

Sea X un espacio topológico y sea

K_{1}\subconjunto K_{2}\subconjunto \puntos

es una secuencia creciente de subconjuntos compactos en X cuyos interiores cubren X . Entonces X tiene un extremo para cada secuencia

U_{1}\supset U_{2}\supset \dots

donde cada U n es un componente conexo del complemento X \ K n .

Es fácil probar que el número de extremos no depende de una sucesión particular { K n } de conjuntos compactos.

Ejemplos

El espacio compacto no tiene fin.
Una línea real tiene dos extremos, ∞ y −∞. ${\ estilo de pantalla \ estilo de script \ mathbb {R} }$
El espacio euclidiano para n > 1 tiene un solo extremo. Esto se debe a que solo hay un componente ilimitado para cualquier conjunto compacto K . ${\ estilo de pantalla \ estilo de script \ mathbb {R} ^{n}}$ $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}\setminus K$
- Además, si M es una variedad compacta con frontera , entonces el número de extremos de su interior es igual al número de componentes conexas de la frontera de M .
La unión de n rayos que parten del origen en tiene n extremos. ${\ estilo de pantalla \ estilo de script \ mathbb {R} ^ {2}}$
Un árbol binario completo infinito tiene un número incontable de extremos. Estos extremos pueden verse como la "corona" de un árbol infinito. En una compactación finita, el conjunto de extremos es homeomorfo al conjunto de Cantor .

Historia

El concepto de final de un espacio topológico fue introducido por Hans Freudenthal en 1931.

Variaciones y generalizaciones

La definición de fin dada anteriormente se aplica solo a espacios X que pueden ser agotados por pactos. Sin embargo, se puede generalizar de la siguiente manera: sea X cualquier espacio topológico, considere un sistema directo { K } de subconjuntos compactos en X con aplicaciones de inclusión. Considere el correspondiente sistema inverso de componentes conexas de complementos { π 0 ( X \ K )}. Entonces el conjunto de extremos en X se define como el límite inverso de este sistema inverso.

Enlaces

Diestel, Reinhard & Kühn, Daniela (2003), Finales teóricos de grafos versus extremos topológicos de grafos , Journal of Combinatorial Theory , Serie B Vol. 87 (1): 197–206 , DOI 10.1016/S0095-8956(02)00034-5 .
Freudenthal, Hans (1931), Über die Enden topologischer Räume und Gruppen , Mathematische Zeitschrift (Springer Berlín/Heidelberg). — Teléfono 33: 692–713, ISSN 0025-5874 , DOI 10.1007/BF01174375
Ross Geoghegan, Métodos topológicos en teoría de grupos , GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1 .
Peter Scott, Terry Wall, Métodos topológicos en la teoría de grupos , London Math. soc. Lecture Note Ser., 36, Universidad de Cambridge. Prensa (1979) 137-203.