Grupo p finito
Un grupo se llama grupo finito
si tiene un orden igual a alguna potencia de un número primo .
Propiedades básicas de p-grupos finitos
Sea un grupo finito , entonces
![PAGS](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
Algunas clases de p-grupos finitos
Esta sección describe las definiciones y propiedades de algunas clases de grupos finitos que a menudo se consideran en la literatura científica.
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
p-grupos de clase máxima
Un grupo finito de orden se llama grupo de clase máxima si su clase de nilpotencia es igual a .
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![pag^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a7a7e74ae90ab94f01e1629177758fb68b423b)
![n-1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521)
Si es un grupo finito de clase máxima, entonces y .
![PAGS](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![{\displaystyle P'=\Fi (P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d19ab53e0be43f07f696c8f2718e256cde876a6a)
![{\ estilo de visualización | Z (P) | = p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7255ac12c36a1b3d6cdff1f7009dd5a1dc2a9d7)
Los únicos 2 grupos de orden de clase máxima son: el grupo diédrico , el grupo cuaternión generalizado y el grupo semidiédrico .
![2^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8226f30650ee4fe4e640c6d2798127e80e9c160d)
![{\displaystyle Q_{2^{n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/540efc6451392bf956927f32327cdb4130a9a408)
![{\displaystyle SD_{2^{n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83747634ebac2b696594de3cec8dcb8b3a288e05)
A diferencia de los 2-grupos, el caso de los p-grupos de clase máxima para p>2 es mucho más complicado.
p-grupos p centrales
Un grupo finito se llama -central si . El concepto es dual, en cierto sentido, al concepto de grupo poderoso .
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![{\displaystyle \Omega _{1}(P)\leq Z(P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/696ebe9f93768a57c2c2ee3445bc4a7bf1b22089)
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
Potentes grupos p
Un grupo finito se llama poderoso si para y para . El concepto es dual, en cierto sentido, al concepto de grupo -central.
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![{\displaystyle [P,P]\leq P^{p))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20913bfb4a69792900bab14a98d457595b47b80b)
![{\displaystyle p\neq 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884d62fa2ca44dc88b2e2020d0921bd7bdcf1d2e)
![{\ estilo de visualización [P, P] \ leq P ^ {4))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef94cef6fee3e64fd68d0edcdc4ca9c4fa2f1ad)
![pag=2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d62e4100b94c1939c67f2d4b8580d26c78106c44)
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
Grupos-p regulares
Un grupo finito se llama regular si , donde , se cumple para cualquier . Por ejemplo, todos los grupos abelianos serán regulares. Un grupo que no es regular se llama irregular .
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![PAGS](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
![{\ estilo de visualización x, y \ en P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd3c6b1fd301be815af40ff562fb7a8b55bd99c)
![{\ estilo de visualización (xy)^{p}=x^{p}y^{p}c^{p))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf0a00be452d7ed4819dfa21f355d765182bcc3)
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
- Cualquier subgrupo y grupo de factores de un grupo regular es regular.
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
- Un grupo finito es regular si cualquiera de sus subgrupos generados por dos elementos es regular.
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
- Un grupo finito de orden a lo sumo es regular.
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![{\ Displaystyle p^{p))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b37a65c3b2111df40755fd0fb5fb38bda690a5f8)
- Un grupo finito cuya clase de nilpotencia es menor que regular. Además, todos los grupos de nilpotencia clase 2 son regulares para .
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![pag>2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0502012bc3b4e73e6f3c2f4748feaab3fd3c350d)
- Cualquier grupo finito no abeliano de 2 es irregular.
P-grupos finitos de órdenes pequeñas
Número de grupos distintos de orden ![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![pag^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a7a7e74ae90ab94f01e1629177758fb68b423b)
- El número de grupos de orden no isomorfo es 1: el grupo .
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![{\displaystyle C_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc37470431fbf62081b69ba870ad3f855178361)
- El número de grupos de orden no isomorfo es 2: grupos y .
![p^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef685027b97072ee63a8c738f395cd40f63767e1)
![{\displaystyle C_{p^{2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f7b95e7a2b952f7d635cbe67e3621fdb2d6209)
![{\displaystyle C_{p}\veces C_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f892e29dd5eeaaadce3e2a6c3ca02fc63077fc)
- El número de grupos de orden no isomorfos es 5, de los cuales tres son grupos abelianos: , , y dos no son abelianos: for - y ; para p = 2 - , .
![{\displaystyle p^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd72168a6110be2b0bd12486f30b4d40c2d4608)
![{\displaystyle C_{p^{3))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b187e80773c59a254ac20693bd12c1aaa070b95)
![{\displaystyle C_{p^{2}}\veces C_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fd9305f7a17053025445e548d98bc4eb334bcdd)
![{\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ccb6097dc1997da634e6a25e96a831e09b83c4b)
![pag>2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0502012bc3b4e73e6f3c2f4748feaab3fd3c350d)
![{\displaystyle E_{p^{3}}^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1f4991dcf7ba79f631d96c943b3c6ff29eef95)
![{\displaystyle E_{p^{3}}^{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3777cf847f7a7a57df0845b4cc64cbcdbad6f25)
![D_{4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d99bbbdaf59e06536c67afbce7c3f681acd1688)
![Q_8](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e87378c5c1811891cbc1e5c334b2c1ba4b84d4d)
- El número de grupos de orden no isomorfos es 15 para , el número de grupos de orden es 14.
![{\displaystyle p^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d25f38cfd691b87f67bbf2a4c2ad98c4893320)
![pag>2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0502012bc3b4e73e6f3c2f4748feaab3fd3c350d)
![2^4](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8071cc0bacaea4d94c5938e5b77147ed3855d059)
- El número de grupos de orden no isomorfos es igual a para . El número de grupos de pedidos es 51, el número de grupos de pedidos es 67.
![{\displaystyle p^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c41d0beb1093a444d327e7ba77ea9570c3ce807)
![{\displaystyle 2p+61+2MCD(p-1,3)+MCD(p-1,4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3009621eb5872055e40b1b377af844c96159d0)
![{\displaystyle p\geq 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea5cb36d99c0607a6bd621df42ac05d9e44a0f7)
![2^{5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37fde9e05093069bd6b0dd86600a77ccf642eb36)
![{\ estilo de visualización 3^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48dc4dc4380eec0009d54200e1b8fb906527d999)
- El número de grupos de orden no isomorfos es igual a para . El número de grupos de pedidos es 267, el número de grupos de pedidos es 504.
![{\displaystyle p^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa7f3b72cf7b120319047d12f5534d111810900)
![{\displaystyle 3p^{2}+39p+344+24GCD(p-1.3)+11GCD(p-1.4)+2GCD(p-1.5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91c9171f638905223e8e1714274aaa8614d5ff62)
![{\displaystyle p\geq 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea5cb36d99c0607a6bd621df42ac05d9e44a0f7)
![2^6](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/558cc35d3c67659a7ed35080c5ae9cf1c8446a1c)
![{\ estilo de visualización 3^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c365f64206c144c9e3e2a5d0a5ca18f567a05cf)
- El número de grupos de orden no isomorfos es igual a para . El número de grupos de pedidos es 2328, el número de grupos de pedidos es 9310, el número de grupos de pedidos es 34297.
![{\ Displaystyle pag^{7))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884cb26d4817e5a6db394dc7f4666eb10ff0259d)
![{\displaystyle 3p^{5}+12p^{4}+44p^{3}+170p^{2}+707p+2455+(4p^{2}+44p+291)MCD(p-1,3) +(p^{2}+19p+135)MCD(p-1,4)+(3p+31)MCD(p-1,5)+4MCD(p-1,7)+5MCD(p-1, 8)+MCD(p-1,9)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/126a6d234097c96dcd80ef4834628b75178d2a26)
![pag>5](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb33f8b4c924ca75444b148b0746e00f1920935)
![2^7](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef25b4e3395a4475684297f80e210b5f65b0e09a)
![{\ estilo de visualización 3^{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b240fb2eba6a19e58ab8b7ea982b1ca74f5919)
![{\ estilo de visualización 5^{7))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9414f14f66e4798ffa06359215181e6d6505eb7c)
p-grupos de orden , asintóticas ![pag^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a7a7e74ae90ab94f01e1629177758fb68b423b)
Porque , el número de grupos de orden no isomorfos es asintóticamente igual a .
![n\rightarrow\infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9702f04f2d0e5b887b99faeeffb0c4cfd8263eee)
![pag^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a7a7e74ae90ab94f01e1629177758fb68b423b)
![{\displaystyle p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^{3))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a66ac5f3c48d4ae06f2d566de16e68d0185b04)
Famosos problemas en la teoría de p-grupos finitos
El grupo de automorfismos de un p-grupo finito
Para grupos que son automorfismos de un grupo finito , existen límites superiores simples, pero los límites inferiores son mucho más complicados. Durante más de medio siglo ha permanecido abierta la siguiente hipótesis:
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
- Sea un grupo no cíclico de orden , entonces .
![PAGS](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![{\displaystyle |P|\geq p^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5a3be941ef82c5fa6385214326521371bf71a5)
![{\displaystyle |P|\leq |Syl_{p}(Aut(P))|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96df49e994f42d68a62d0cfca58015071f7c0949)
Esta conjetura se confirma para una gran clase de -grupos: grupos abelianos, para todos los grupos de órdenes como máximo , grupos de clase máxima. Sin embargo, aún no se ha encontrado un enfoque general para este problema.
![pags](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![{\ Displaystyle pag^{7))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884cb26d4817e5a6db394dc7f4666eb10ff0259d)
Hipótesis de Higman
J. Thompson demostró un conocido teorema que afirma que un grupo finito con un automorfismo regular de primer orden es nilpotente.
![q](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)
- Sea un grupo que tenga un automorfismo regular de primer orden . Entonces su clase de nilpotencia es .
![PAGS](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
![q](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)
![{\displaystyle cl(P)={\frac{q^{2}-1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c0f259280f3d3ea7f871df76913f859abd4014)
Hasta ahora, solo se han probado estimaciones mucho más débiles: (Kostrikin, Kreknin).
![{\displaystyle cl(P)<q^{q))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8fba211992843a177eaf22ceeb633abd0b941e)
Conjetura de Burnside debilitada
La conjetura de Burnside fue que si hay un grupo con generadores y un período (es decir, todos sus elementos satisfacen la relación ), entonces es finito. Si es así, denotamos el máximo de estos grupos por . Entonces todos los demás grupos con la misma propiedad serán sus grupos de factores. De hecho, es fácil demostrar que el grupo es un 2-grupo abeliano elemental. Van der Waerden demostró que el orden de un grupo es . Sin embargo, como demostraron Novikov y Adyan, por y para cualquier impar , el grupo es infinito.
![metro](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
![norte](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![{\ estilo de visualización x ^ {n} = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8741a3eae6f729b4f1c4273a74c135d23987d5fd)
![{\ estilo de visualización B (m, n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f1a73c7fa714079c1d7d34ac057cc268407d334)
![{\ estilo de visualización B (m, 2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042e6f878de354ea19dbac627ddb25ee60268665)
![{\ estilo de visualización B (m, 3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab3f0d8ccbf09da47601b40916d5613d5f8ae02f)
![{\displaystyle 3^{\frac{m(m^{2}+5)}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e6102904536213e9500bd5e4cc059d3a43c42c3)
![{\ estilo de visualización m \ geq 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca2e437e89ef4565a87f1a6d90ed37eef1d8ce3)
![{\ estilo de visualización n \ geq 4381}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dbf7d383e82a94debe769690614c35b7a971107)
![{\ estilo de visualización B (m, n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f1a73c7fa714079c1d7d34ac057cc268407d334)
La conjetura de Burnside debilitada establece que los órdenes de los grupos de períodos generados finitos están acotados. Esta conjetura fue probada por Efim Zelmanov . Para grupos finitos , significa que solo hay un número finito de grupos de un exponente dado y con un número dado de generadores.
![metro](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
![norte](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
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Grupos p irregulares
Clasificación de p-grupos irregulares de orden .
![{\displaystyle p^{p+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3287bcfd030fe9768402b52aaf0cfb50b46300a)
Literatura
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