Grupo p finito

Un grupo se llama grupo finito $pags$ si tiene un orden igual a alguna potencia de un número primo .

Propiedades básicas de p-grupos finitos

Sea un grupo finito , entonces $PAGS$ $pags$

P es nilpotente .
${\ estilo de visualización | Z (P) |> 1}$ , donde es el centro del grupo P . ${\ estilo de visualización Z (P)}$
Para cualquiera existe un subgrupo normal de orden . ${\ estilo de visualización 1 \ leq k <n}$ $PAGS$ $p^{k}$
Si es normal en , entonces . $H$ $PAGS$ $|H\cap Z(P)|>1$
$P'\leq \Phi (P)$ .
$P/\Phi (P)\cong E_{p^{d))$ .

Algunas clases de p-grupos finitos

Esta sección describe las definiciones y propiedades de algunas clases de grupos finitos que a menudo se consideran en la literatura científica. $pags$

p-grupos de clase máxima

Un grupo finito de orden se llama grupo de clase máxima si su clase de nilpotencia es igual a . $pags$ $pag^{n}$ $n-1$

Si es un grupo finito de clase máxima, entonces y . $PAGS$ $pags$ $P'=\Fi (P)$ ${\ estilo de visualización | Z (P) | = p}$

Los únicos 2 grupos de orden de clase máxima son: el grupo diédrico , el grupo cuaternión generalizado y el grupo semidiédrico . $2^{n}$ $D_{2^{n))$ $Q_{2^{n))$ $SD_{2^{n))$

A diferencia de los 2-grupos, el caso de los p-grupos de clase máxima para p>2 es mucho más complicado.

p-grupos p centrales

Un grupo finito se llama -central si . El concepto es dual, en cierto sentido, al concepto de grupo poderoso . $pags$ $pags$ $\Omega _{1}(P)\leq Z(P)$ $pags$

Potentes grupos p

Un grupo finito se llama poderoso si para y para . El concepto es dual, en cierto sentido, al concepto de grupo -central. $pags$ ${\displaystyle [P,P]\leq P^{p))$ $p\neq 2$ ${\ estilo de visualización [P, P] \ leq P ^ {4))$ $pag=2$ $pags$ $pags$

Grupos-p regulares

Un grupo finito se llama regular si , donde , se cumple para cualquier . Por ejemplo, todos los grupos abelianos serán regulares. Un grupo que no es regular se llama irregular . $pags$ $PAGS$ ${\ estilo de visualización x, y \ en P}$ ${\ estilo de visualización (xy)^{p}=x^{p}y^{p}c^{p))$ ${\ estilo de visualización c \ en P'}$ $pags$

Cualquier subgrupo y grupo de factores de un grupo regular es regular. $pags$
Un grupo finito es regular si cualquiera de sus subgrupos generados por dos elementos es regular. $pags$
Un grupo finito de orden a lo sumo es regular. $pags$ ${\ Displaystyle p^{p))$
Un grupo finito cuya clase de nilpotencia es menor que regular. Además, todos los grupos de nilpotencia clase 2 son regulares para . $pags$ $pags$ $pag>2$
Cualquier grupo finito no abeliano de 2 es irregular.

P-grupos finitos de órdenes pequeñas

Número de grupos distintos de orden $pags$ $pag^{n}$

El número de grupos de orden no isomorfo es 1: el grupo . $pags$ $C_{p}$
El número de grupos de orden no isomorfo es 2: grupos y . $p^{2}$ $C_{p^{2))$ $C_{p}\veces C_{p}$
El número de grupos de orden no isomorfos es 5, de los cuales tres son grupos abelianos: , , y dos no son abelianos: for - y ; para p = 2 - , . $p^{3}$ $C_{p^{3))$ $C_{p^{2}}\veces C_{p}$ ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p})$ $pag>2$ $E_{p^{3}}^{+}$ $E_{p^{3}}^{-}$ $D_{4}$ $Q_8$
El número de grupos de orden no isomorfos es 15 para , el número de grupos de orden es 14. $p^{4}$ $pag>2$ $2^4$
El número de grupos de orden no isomorfos es igual a para . El número de grupos de pedidos es 51, el número de grupos de pedidos es 67. $p^{5}$ $2p+61+2MCD(p-1,3)+MCD(p-1,4)$ $p\geq 5$ $2^{5}$ ${\ estilo de visualización 3^{5}}$
El número de grupos de orden no isomorfos es igual a para . El número de grupos de pedidos es 267, el número de grupos de pedidos es 504. $p^{6}$ $3p^{2}+39p+344+24GCD(p-1.3)+11GCD(p-1.4)+2GCD(p-1.5)$ $p\geq 5$ $2^6$ ${\ estilo de visualización 3^{6}}$
El número de grupos de orden no isomorfos es igual a para . El número de grupos de pedidos es 2328, el número de grupos de pedidos es 9310, el número de grupos de pedidos es 34297. ${\ Displaystyle pag^{7))$ $3p^{5}+12p^{4}+44p^{3}+170p^{2}+707p+2455+(4p^{2}+44p+291)MCD(p-1,3) +(p^{2}+19p+135)MCD(p-1,4)+(3p+31)MCD(p-1,5)+4MCD(p-1,7)+5MCD(p-1, 8)+MCD(p-1,9)$ $pag>5$ $2^7$ ${\ estilo de visualización 3^{7}}$ ${\ estilo de visualización 5^{7))$

p-grupos de orden , asintóticas $pag^{n}$

Porque , el número de grupos de orden no isomorfos es asintóticamente igual a . $n\rightarrow\infty$ $pag^{n}$ $p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^{3))$

Famosos problemas en la teoría de p-grupos finitos

El grupo de automorfismos de un p-grupo finito

Para grupos que son automorfismos de un grupo finito , existen límites superiores simples, pero los límites inferiores son mucho más complicados. Durante más de medio siglo ha permanecido abierta la siguiente hipótesis: $pags$ $pags$

Sea un grupo no cíclico de orden , entonces . $PAGS$ $pags$ $|P|\geq p^{3}$ $|P|\leq |Syl_{p}(Aut(P))|$

Esta conjetura se confirma para una gran clase de -grupos: grupos abelianos, para todos los grupos de órdenes como máximo , grupos de clase máxima. Sin embargo, aún no se ha encontrado un enfoque general para este problema. $pags$ ${\ Displaystyle pag^{7))$

Hipótesis de Higman

J. Thompson demostró un conocido teorema que afirma que un grupo finito con un automorfismo regular de primer orden es nilpotente. $q$

Sea un grupo que tenga un automorfismo regular de primer orden . Entonces su clase de nilpotencia es . $PAGS$ $q$ $cl(P)={\frac{q^{2}-1}{4}}$

Hasta ahora, solo se han probado estimaciones mucho más débiles: (Kostrikin, Kreknin). ${\displaystyle cl(P)<q^{q))$

Conjetura de Burnside debilitada

La conjetura de Burnside fue que si hay un grupo con generadores y un período (es decir, todos sus elementos satisfacen la relación ), entonces es finito. Si es así, denotamos el máximo de estos grupos por . Entonces todos los demás grupos con la misma propiedad serán sus grupos de factores. De hecho, es fácil demostrar que el grupo es un 2-grupo abeliano elemental. Van der Waerden demostró que el orden de un grupo es . Sin embargo, como demostraron Novikov y Adyan, por y para cualquier impar , el grupo es infinito. $metro$ $norte$ $X$ ${\ estilo de visualización x ^ {n} = 1}$ ${\ estilo de visualización B (m, n)}$ ${\ estilo de visualización B (m, 2)}$ ${\ estilo de visualización B (m, 3)}$ $3^{\frac{m(m^{2}+5)}{6}}$ ${\ estilo de visualización m \ geq 2}$ ${\ estilo de visualización n \ geq 4381}$ ${\ estilo de visualización B (m, n)}$

La conjetura de Burnside debilitada establece que los órdenes de los grupos de períodos generados finitos están acotados. Esta conjetura fue probada por Efim Zelmanov . Para grupos finitos , significa que solo hay un número finito de grupos de un exponente dado y con un número dado de generadores. $metro$ $norte$ $pags$ $pags$

Grupos p irregulares

Clasificación de p-grupos irregulares de orden . $p^{p+1}$

Literatura

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Weigel T. p-Grupos centrales y dualidad de Poincaré - Freiburg Univ., 1996, preimpresión.

Enlaces

sistema GAP .