La cónica de nueve puntos de un cuadrilátero completo es una sección cónica que pasa por tres puntos diagonales y seis puntos medios de los lados de un cuadrilátero completo.
La sección cónica de nueve puntas fue descrita por Maxim Bocher en 1892. El círculo de nueve puntos más conocido es un caso especial de la cónica de Bocher. Otro caso especial es la hipérbola de nueve puntos .
Bocher usó los cuatro puntos del cuadrilátero completo como tres vértices triangulares y un punto independiente:
Sean dados un triángulo ABC y un punto P en el plano. Una sección cónica se puede dibujar a través de los siguientes nueve puntos: los puntos medios de los lados del triangulo ABC , los puntos medios de los segmentos que conectan P con los vértices del triángulo, los puntos donde estas líneas que pasan por P y los vértices del triángulo se cruzan con los lados del triángulo.Una sección cónica será una elipse si P está dentro del triángulo ABC o en una de las regiones del plano separadas del interior del triángulo por dos lados. De lo contrario, la cónica será una hipérbola . Bocher notó que en el caso cuando P es el ortocentro , obtenemos un círculo de nueve puntos, y cuando P es el centro del círculo circunscrito del triángulo ABC , la cónica será una hipérbola isósceles.
Maud Minthorn demostró en 1912 que la cónica de nueve puntos es el lugar geométrico de los centros de las secciones cónicas que pasan por cuatro puntos dados.