Un cuadrilátero completo (a veces el término se usa con cuatro vértices completos ) es un sistema de objetos geométricos que consta de cuatro puntos en el plano , de los cuales tres no se encuentran en la misma línea, y seis líneas que conectan seis pares de puntos. La configuración dual a un cuadrilátero completo - un cuadrilátero completo - es un sistema de cuatro líneas, tres de las cuales no pasan por el mismo punto, y seis puntos de intersección de estas líneas. Lachlan [1] usó el nombre tetrastigma [2] para un cuadrilátero completo y tetragam para un cuadrilátero completo . Estos términos, aunque raros, se encuentran en la literatura.
Una figura que consta de cuatro puntos en un plano, tres de los cuales no son colineales, y seis líneas que los conectan en pares se llama cuadrilátero completo . Los lados que no tienen un vértice común en un cuadrilátero completo se llaman opuestos . Los puntos de intersección de tres pares de lados opuestos se denominan puntos diagonales [3] .
Una figura que consta de cuatro líneas rectas en un plano, tres de las cuales no convergen en un punto, y seis puntos de su intersección por pares, se llama cuadrilátero completo . Las cuatro rectas se llaman lados y los seis puntos se llaman vértices del cuadrilátero. Los vértices que no son adyacentes al mismo lado se llaman opuestos . Las líneas rectas que conectan tres pares de vértices opuestos se llaman diagonales [3] .
Una serie de seis (cinco, cuatro) puntos donde los lados de un cuadrilátero completo se cruzan con una línea determinada se denomina serie de puntos generados por el cuadrilátero completo [4] . Si tal línea pasa a través de dos puntos diagonales A y C , y B y D son los puntos donde los otros dos lados se cruzan con la línea AC , entonces los pares de puntos AC y BD se llaman cuadriláteros armónicos y se denotan H(AC, BD ) . Los puntos B y D se llaman armónicos con respecto a A y C , y el punto D (o B ) se llama conjugado armónico con el punto B (o D ) con respecto al par de puntos A y D [5] .
Si existe una correspondencia entre los puntos de dos figuras, tal que las líneas que conectan cada par de puntos correspondientes convergen en algún punto O , entonces las figuras se llaman perspectiva con respecto al centro O [3] .
Si existe una correspondencia entre las líneas rectas de dos figuras, tal que los puntos de intersección de cada par de líneas correspondientes se encuentran en la misma línea recta l , entonces estas figuras se llaman perspectiva relativa al eje l .
Tras el descubrimiento del plano de Fano , una geometría finita en la que los puntos diagonales de un cuadrilátero completo son colineales , algunos autores añaden a los axiomas de la geometría proyectiva el axioma de Fano , postulando que los puntos diagonales no son colineales [6] [7] .
Como sistema de puntos y rectas en el que todos los puntos pertenecen al mismo número de rectas y todas las rectas contienen el mismo número de puntos, un cuadrilátero completo y un cuadrilátero completo son configuraciones proyectivas . En notación de configuración proyectiva, un cuadrilátero completo se escribe como (4 3 6 2 ), y un cuadrilátero completo como (6 2 4 3 ), donde los números en esta notación indican el número de puntos, el número de líneas que pasan por cada punto , el número de líneas y el número de puntos en cada línea recta. La configuración dual proyectiva de un cuadrilátero completo es un cuadrilátero completo, y viceversa. Para cualesquiera dos cuadriláteros completos o cualesquiera dos cuadriláteros completos, existe una transformación proyectiva única , que transforma una de las configuraciones en la otra [8] .
Karl Staudt transformó los fundamentos de las matemáticas en 1847 utilizando el cuadrilátero completo cuando notó que las "propiedades armónicas" se basan en las propiedades concomitantes del cuadrilátero: los puntos de intersección de los lados opuestos del cuadrilátero y la intersección de las diagonales con el línea que pasa por estos puntos forman un cuarteto armónico . Los estudiosos de la geometría y el álgebra modernos han llamado la atención sobre la influencia de Staudt en Mario Pieri y Felix Klein .
Wells [9] describe algunas propiedades adicionales de cuadriláteros completos que utilizan propiedades métricas del plano euclidiano que no son puramente proyectivas. Los puntos medios de las diagonales son colineales y (como demostró Isaac Newton ) el centro de la sección cónica se encuentra en la misma línea recta , tangente al cuadrilátero por cuatro líneas rectas. Tres cuadriláteros rectos cualesquiera forman los lados de un triángulo. Los ortocentros de los cuatro triángulos así formados se encuentran en otra línea perpendicular a la primera línea (que pasa por los puntos medios de las diagonales). Los círculos circunscritos de estos cuatro triángulos se cortan en un punto. Además, tres círculos construidos sobre diagonales como diámetros pertenecen a un lápiz de círculos [10] , cuyo eje pasa por los ortocentros.
Los círculos polares de los triángulos del cuadrilátero completo forman un sistema de círculos coaxiales [11] .