La configuración hessiana es una configuración de 9 puntos y 12 líneas con tres puntos en cada línea y cuatro líneas que pasan por cada punto. Fue considerado por Colin Maclaurin y estudiado por Otto Hesse (1844) [1] , La configuración es realizable en el plano proyectivo complejo como el conjunto de puntos de inflexión de una curva elíptica , pero no hay realización en el plano euclidiano .
La configuración de Hesse tiene las mismas relaciones de incidencia que las líneas y puntos del plano afín sobre un campo de 3 elementos . Es decir, los puntos de la configuración de Hesse pueden identificarse con pares ordenados de enteros módulo 3, y las líneas pueden identificarse respectivamente con ternas de puntos ( x , y ) que satisfacen las ecuaciones lineales ax + by = c (mod 3). Alternativamente, los puntos de configuración se pueden identificar con los cuadrados del campo de tres en raya (3x3), y las líneas rectas se pueden identificar con las diagonales rectas y discontinuas [2] del campo.
Cada punto se encuentra en cuatro líneas: en la interpretación de la configuración como campos de tic-tac-toe, una línea es horizontal, una es vertical y dos líneas son diagonales o diagonales rotas. Cada línea contiene tres puntos, por lo que en el lenguaje de configuraciones la configuración hessiana se escribe 9 4 12 3 .
El grupo de automorfismos de la configuración hessiana tiene orden 216 y se conoce como grupo hessiano .
Eliminando cualquier punto y las líneas incidentes en él de la configuración de Hesse se obtiene otra configuración de tipo 8 3 8 3 , la configuración de Möbius-Cantor [3] [4] [5] .
En la configuración de Hesse, 12 líneas se pueden agrupar en cuatro tripletes de líneas paralelas (que no se cruzan). Quitando de la configuración de Hesse tres líneas incluidas en una de las ternas se obtiene una configuración del tipo 9 3 9 3 , la configuración Papp [4] [5] .
La configuración de Hesse se puede extender agregando cuatro puntos, uno por cada triple de líneas que no se intersecan, y agregando una línea que contenga estos nuevos cuatro puntos. Tal extensión da una configuración como 13 4 13 4 , un conjunto de puntos y líneas del plano proyectivo sobre un campo de tres elementos.
La configuración de Hesse se puede realizar en el plano proyectivo complejo como 9 puntos de inflexión de una curva elíptica y 12 líneas rectas que pasan por tripletes de puntos de inflexión. Si un conjunto dado de nueve puntos en el plano complejo es el conjunto de puntos de inflexión de una curva elíptica C , entonces es el conjunto de puntos de inflexión de cualquier curva en el haz de curvas formado por C y su curva hessiana, el haz hessiano [6] .
La configuración de Hesse, junto con la configuración de Möbius-Cantor, tienen realizaciones complejas en el espacio complejo, pero ninguna realización con líneas rectas en el plano euclidiano . En la configuración de Hesse, dos puntos cualesquiera están conectados por una línea de la configuración (que es la definición de la configuración de Sylvester-Galai ) y, por lo tanto, cualquier línea que pase por dos de sus puntos contiene un tercer punto. Sin embargo, en el espacio euclidiano, cualquier número finito de puntos es colineal o, según el teorema de Sylvester , incluye un par de puntos que no contienen puntos fijos en la línea que pasa por esos dos puntos. Dado que la configuración de Hesse viola el teorema de Sylvester, no puede tener una implementación euclidiana. Este ejemplo muestra que el teorema de Sylvester no se puede generalizar al plano proyectivo complejo. Sin embargo, en espacios complejos, la configuración de Hesse y todas las configuraciones de Sylvester-Galai deben estar en un subespacio plano bidimensional [7] .