Teorema de sylvester

El teorema de Sylvester es un resultado clásico de la geometría combinatoria sobre configuraciones lineales en el plano.

Redacción

En el plano se dan un número finito de puntos, y tal que toda recta que pasa por dos de los puntos dados contiene un punto dado más. Entonces todos los puntos dados están en la misma línea.

Acerca de la evidencia

El teorema de Sylvester es famoso por ser bastante difícil de demostrar directamente, y la demostración sencilla es acudir a su reformulación dual :

Si se da un conjunto finito de rectas en un plano tal que una más de ellas pasa por cualquier punto de intersección de dos rectas dadas, entonces todas pasan por un punto o son paralelas.

Prueba de la reformulación dual

Que una de las rectas dadas no pase por uno de los puntos de intersección . Encuentre el punto de intersección y la línea para la cual la distancia es menor que de a . Dado que el número de intersecciones es finito, esto dará una contradicción. El caso en que pasa una línea recta, no paralela , se muestra en la figura. Si la línea que pasa por la tercera línea es paralela a la línea , entonces considere un triángulo cuyas líneas medias forman un triángulo , donde y son los puntos de intersección de dos líneas que pasan por la línea . Si la tercera línea que pasa no interseca el segmento , entonces la distancia desde el punto hasta él es menor que a . De manera similar, si la tercera línea que pasa por no interseca el segmento , entonces la distancia desde el punto hasta él es menor que hasta . Si la tercera línea que pasa interseca al segmento y la tercera línea que pasa interseca al segmento , entonces hay un punto de intersección de estas líneas. Si no coincide con , entonces está más cerca de una línea recta que . Si coincide con , entonces le aplicamos el razonamiento anterior a él ya la línea . Aparecerá un triángulo , cuyas líneas medias forman un triángulo . Reemplazando un triángulo por un triángulo en nuestro razonamiento y procediendo de manera similar, obtenemos una contradicción con la finitud del conjunto. ■ $\ana$ $PAGS$ $PAGS$ $\ana$ $PAGS$ $\ana$ $PAGS$ $\ana$ $A'B'P'$ $PAB$ $A$ $B$ $PAGS$ $\ana$ $A$ ${\ estilo de visualización BP'}$ $PAGS$ $\ana$ $B$ $AP'$ $PAGS$ $\ana$ $A$ ${\ estilo de visualización BP'}$ $B$ $AP'$ $PAGS'$ $\ana$ $PAGS$ $PAGS'$ $\ana$ $PP''P'''$ $PAB'$ $PAB$ $P''P'A$

Prueba directa

La prueba directa fue encontrada medio tarde Kelly

Suponga que los puntos de este conjunto no son colineales. Elija un par: su punto y línea , para los cuales la distancia de a es el mínimo positivo; tal par existe debido a la finitud de los conjuntos de puntos y líneas de conexión. Marcamos tres puntos: , y del conjunto dado. Sea el punto la base de la perpendicular caída de a . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que los puntos , y siguen en el orden indicado; mientras que los puntos y pueden coincidir. Entonces la distancia del punto a la línea es positiva y menor que de a . Contradicción. ■ $A$ $d$ $A$ $d$ $d$ $B$ $C$ $D$ $PAGS$ $A$ $d$ $PAGS$ $B$ $C$ $d$ $PAGS$ $B$ $B$ $C.A.$ $A$ $d$

Nota

Dado que la prueba no usa la condición de que todos los puntos se encuentran en un plano, el teorema de Sylvester se puede extender a conjuntos en un espacio euclidiano de dimensión arbitraria.

Véase también

Teorema de De Bruijn-Erdős

Literatura

Aigner M. Ziegler G. Evidencia del Libro. La mejor evidencia desde la época de Euclides hasta nuestros días. - Editorial "Laboratorio del Saber" (anteriormente "BINOM. Laboratorio del Saber"), 2014. - ISBN 978-5-9963-2736-2 . (Capítulo 10).