Colector conformemente plano

Una variedad plana conforme es una variedad de Riemann en la que cada punto tiene una vecindad que se puede mapear conforme a una región del espacio euclidiano.

Más formalmente, sea M una variedad pseudo-riemanniana con g métrica . Entonces M es conformemente plano si para cada punto existe una vecindad y una función suave definida en U tal que la métrica en es plana (es decir, las curvaturas se anulan en ). ${\ estilo de visualización x \ en M}$ ${\ estilo de visualización U \ ni x}$ $\fi$ $e^{2\phi }\cdot g$ $tu$ $e^{2\phi }\cdot g$ $tu$

La función se llama factor conforme, no tiene que estar definida sobre todo M. Algunos autores utilizan el término localmente conforme plana para describir el concepto introducido anteriormente, y conservan el término conforme plana para el caso en el que la función se define en la totalidad de M. $\fi$ $\fi$

Ejemplos

Cualquier variedad con curvatura de sección constante es conformemente plana.
Cualquier variedad pseudo-Riemanniana bidimensional es conformemente plana.
Una variedad pseudo-Riemanniana tridimensional es conformemente plana si y solo si el tensor de Cotton desaparece.
Una variedad pseudo-Riemanniana de n dimensiones para n ≥ 4 es conformemente plana si y solo si el tensor de Weil desaparece.

Propiedades

Toda variedad de Riemann plana, conexa , compacta y conexa es conformemente equivalente a una esfera .

Variaciones y generalizaciones

Se dice que una variedad pseudo-riemanniana es conformemente plana si cada uno de sus puntos tiene una vecindad que se puede mapear conformemente en un dominio del espacio pseudo-euclidiano .