Medir la concentración

La concentración de medida es el principio según el cual, bajo ciertas restricciones bastante generales y no demasiado gravosas, el valor de una función de un gran número de variables es casi constante [1] . Por ejemplo, la mayoría de los pares de puntos en una esfera unitaria de alta dimensión están a una distancia cercana entre sí. ${\ estilo de visualización {\ tfrac {\ pi} {2}}}$

El principio de medida de concentración se basa en la idea de Paul Levy . Fue explorado a principios de la década de 1970 por Vitaly Milman en su trabajo sobre la teoría local de los espacios de Banach . Este principio se desarrolló aún más en los trabajos de Milman y Gromov , Moret, Pisier , Shekhtman, Talagran , Ledoux y otros.

Definiciones básicas

Sea un espacio métrico con medida de probabilidad . Dejar ${\ estilo de visualización (X, d, \ mu)}$ $\mu$

\alpha (\varepsilon)=\sup \left\{\,\mu (X\setminus A_{\varepsilon})\mid \mu (A)\geqslant 1/2\,\right\},

dónde

{\displaystyle A_{\varepsilon }=\left\{\,x\mid d(x,A)<\varepsilon \,\right\))

es un -vecindario del conjunto . $\varepsilon$ $A$

La característica se llama el perfil espacial . $\alfa$ $X$

Informalmente hablando, un espacio satisfará el principio de concentración de la medida si su perfil decrece rápidamente como . $X$ ${\ estilo de visualización \ alfa (\ varepsilon)}$ $\varepsilon$

Más formalmente, una familia de espacios métricos con medidas se denomina familia Levy si se cumple lo siguiente para los perfiles correspondientes : ${\ estilo de visualización (X_ {n}, d_ {n}, \ mu _ {n})}$ $\alpha_{n}$

\forall \varepsilon >0\quad \alpha _{n}(\varepsilon )\to 0\quad {\text{at))\quad n\to \infty .

si mas que eso

\forall \varepsilon >0\quad \alpha _{n}(\varepsilon)\leq C\cdot \exp(-c\cdot n\cdot \varepsilon ^{2})

para algunas constantes , la sucesión se denomina familia Levi normal . ${\ estilo de visualización c, C> 0}$ ${\ estilo de visualización (X_ {n}, d_ {n}, \ mu _ {n})}$

Notas

La siguiente definición de perfil es equivalente: $\alfa$ $\alpha (\varepsilon)=\sup \left\{\,\mu (\{\,F\geq \mathop {M} +\varepsilon \,\})\,\right\},$

donde el límite superior mínimo sobre todas las funciones de 1-Lipschitz y la mediana determinada por el siguiente par de desigualdades

F\dos puntos \,X\to \mathbb {R}

METRO

F

\mu \{\,F\geq M\,\}\geqslant 1/2,\quad \mu \{\,F\leq M\,\}\geqslant 1/2.

Concentración de una medida en una esfera

El primer ejemplo se remonta a Paul Levy . De acuerdo con la desigualdad isoperimétrica esférica , entre todos los subconjuntos de una esfera con una medida esférica dada , el segmento esférico $A$ ${\ matemáticas {S}}^{n}$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {n} (A)}$

B(x_{0},R)_{\mathbb {S} ^{n))=\left\{\,x\in \mathbb {S} ^{n}\mid \mathrm {dist} (x,x_{0})\leqslant R\,\right\}

para cualquiera tiene el vecindario más pequeño para cualquier fijo . $R$ $\varepsilon$ ${\ Displaystyle A_ {\ varepsilon}}$ $\varepsilon >0$

Aplicando esta observación para una medida de probabilidad homogénea sobre y un conjunto tal que , obtenemos la siguiente desigualdad: $\sigma _{n}$ ${\ matemáticas {S}}^{n}$ $A$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {n} (A) = 1/2}$

\sigma _{n}(A_{\varepsilon})\geqslant 1-C\cdot \exp(-c\cdot n\cdot \varepsilon ^{2}),

donde son constantes universales. Por lo tanto, la secuencia es una familia de Lévy normal y el principio de concentración de medida se cumple para esta secuencia de espacios. ${\ estilo de visualización C, c}$ $X_{n}=\mathbb{S} ^{n}$

Aplicaciones

Supongamos que denota el conjunto de todos los polígonos convexos en el cuadrado unitario con vértices en el -lattice . Entonces, para pequeños, la mayoría de los polígonos de se encuentran cerca de algún conjunto convexo . ${\mathcal {P}}_{\varepsilon}$ $\varepsilon$ ${\ estilo de visualización (\ varepsilon \ cdot \ mathbb {Z}) ^ {2}}$ $\varepsilon >0$ ${\mathcal {P}}_{\varepsilon}$ $L$
- Más precisamente, se describe mediante la desigualdad [2] $L$
${\sqrt {1-|x|}}+{\sqrt {1-|y|}}\geq 1.$
Lema de pequeña distorsión
teorema de dvoretsky

Véase también

martingala duba

Notas

↑ Michel Talagrand, Una nueva mirada a la independencia, Annals of Probability, 1996, vol. 24, No.1, 1-34
↑ Barany, Imre. "La forma límite de los polígonos de celosía convexa". Geometría discreta y computacional 13.1 (1995): 279-295.

Lecturas adicionales

Ledoux, Michel. El fenómeno de la concentración de la medida (neopr.) . - Sociedad Matemática Americana, 2001. - ISBN 0-8218-2864-9 .
A. A. Giannopoulos, V. Milman, Propiedad de concentración en espacios de probabilidad , Advances in Mathematics 156 (2000), 77-106.