Curva de osgood

En matemáticas , una curva de Osgood es una curva sin intersección ( curva o arco de Jordan) con área positiva [2] . Más formalmente, son curvas en el plano euclidiano con medida de Lebesgue bidimensional positiva .

Historias

Los primeros ejemplos de tales curvas fueron encontrados por William Fogh Osgood [3] y Lebesgue [4] . Ambos ejemplos tienen área positiva en algunas partes de las curvas, pero área cero en otras partes. Esta deficiencia fue corregida por Knopp [5] , quien encontró una curva con un área positiva cerca de cada uno de sus puntos, basándose en construcciones anteriores de Vaclav Sierpinski . El ejemplo de Knopp tiene la ventaja adicional de que, cuando se construye, el área puede ser cualquier fracción del área del casco convexo [6] .

Construcción fractal

Aunque la mayoría de las curvas que llenan el espacio no son curvas de Osgood (tienen un área positiva, pero a menudo se intersecan un número infinito de veces, lo que viola la definición de una curva de Jordan), es posible modificar la construcción recursiva de las curvas que llenan el espacio o curvas fractales para obtener una curva de Osgood [7] .

Inicialmente, Osgood, en su publicación de 1903, consideró una curva llenando un cuadrado [8] . Fue esta línea quebrada la que obtuvo su nombre [1] . Posteriormente este nombre se generalizó a otras figuras. Por ejemplo, la construcción de Knopp utiliza la división recursiva de triángulos en pares de triángulos más pequeños que comparten un vértice común mediante la eliminación de cuñas. Si las cuñas que se eliminarán en cada nivel de la construcción constituyen una parte invariable (fraccional) del área de los triángulos, el resultado es un fractal de Cesaro similar a la curva de Koch , pero cuando se eliminan las cuñas, las áreas de las cuales disminuyen más rápido, obtenemos la curva de Osgood [6] .

Construcción Denjoy-Ries

Otra forma de construir una curva de Osgood es utilizar una versión bidimensional del conjunto de Smith-Volterra-Cantor , un conjunto de puntos completamente desconectado con área distinta de cero, al que se aplica el teorema de Denjoy-Ries aplicado , según el cual cualquier subconjunto acotado y completamente desconectado del plano es un subconjunto de la curva de Jordan [9] .

Véase también

Notas

  1. ↑ 1 2 Slyusar, V. Antenas fractales. Un tipo fundamentalmente nuevo de antenas "rotas". Parte 2. . Electrónica: ciencia, tecnología, negocios. - 2007. - Nº 6. S. 86 - 87. (2007). Consultado el 27 de abril de 2020. Archivado desde el original el 3 de abril de 2018.
  2. ↑ Radó (1948) .
  3. ↑ Osgood, 1903 .
  4. ↑ Lebesgue, 1903 .
  5. ↑ Knopp, 1917 .
  6. ↑ 12 Knopp , 1917 ; Sagan, 1994 , Sección 8.3, Curvas de Osgood Sierpinski y Knopp, pp. 136–140 Archivado el 29 de mayo de 2016 en Wayback Machine .
  7. ↑ Knopp, 1917 ; Lanza, Thomas, 1991 ; Sagan 1993 ).
  8. ↑ William F. Osgood . Una curva de Jordan de área positiva // Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . - 1903. - T. 4 . — S. 107–112 . — ISSN 0002-9947 . -doi : 10.1090 / S0002-9947-1903-1500628-5 . — .
  9. ↑ Balcerzak, Kharazishvili, 1999 .

Literatura

Enlaces