Fractales

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 13 de diciembre de 2021; las comprobaciones requieren 6 ediciones .

Fractal ( lat. fractus - aplastado, roto, roto) - un conjunto que tiene la propiedad de la autosimilitud (un objeto que coincide exactamente o aproximadamente con una parte de sí mismo, es decir, el todo tiene la misma forma que una o más partes ). En matemáticas, los fractales se entienden como conjuntos de puntos en el espacio euclidiano , que tienen una dimensión métrica fraccionaria (en el sentido de Minkowski o Hausdorff ), o una dimensión métrica distinta a la topológica , por lo que deben distinguirse de otras formas geométricas limitadas por un finito. número de enlaces Las figuras autosimilares que se repiten un número finito de veces se denominan prefractales.

Los primeros ejemplos de conjuntos autosimilares con propiedades inusuales aparecieron en el siglo XIX como resultado del estudio de funciones continuas no diferenciables (por ejemplo, la función de Bolzano , la función de Weierstrass , el conjunto de Cantor ). El término "fractal" fue introducido por Benoit Mandelbrot en 1975 y se hizo ampliamente conocido con el lanzamiento de su libro "La geometría fractal de la naturaleza " en 1977 . Los fractales ganaron particular popularidad con el desarrollo de tecnologías informáticas, lo que hizo posible visualizar de manera efectiva estas estructuras.

La palabra "fractal" se usa no solo como un término matemático. Un fractal es un objeto que tiene al menos una de las siguientes propiedades:

Tiene una estructura no trivial en todas las escalas. Esta es la diferencia con las figuras regulares (como el círculo , la elipse , la gráfica de una función suave ): si consideramos un pequeño fragmento de una figura regular a una escala muy grande, se verá como un fragmento de una línea recta. Para un fractal, el acercamiento no conduce a una simplificación de la estructura, es decir, en todas las escalas se puede ver una imagen igualmente compleja.
Es auto-similar o aproximadamente auto-similar.
Tiene una dimensión métrica fraccionaria o una dimensión métrica que es superior a la dimensión topológica .

Muchos objetos en la naturaleza tienen propiedades fractales, por ejemplo: costas, nubes, copas de árboles, copos de nieve, sistema circulatorio, alvéolos .

Ejemplos

Conjuntos autosimilares con propiedades inusuales en matemáticas

A partir de finales del siglo XIX, aparecieron en las matemáticas ejemplos de objetos autosimilares con propiedades patológicas desde el punto de vista del análisis clásico. Estos incluyen lo siguiente:

el conjunto de Cantor es un conjunto innumerablemente perfecto denso en ninguna parte. Al modificar el procedimiento, también se puede obtener un conjunto denso en ninguna parte de longitud positiva;
el triángulo de Sierpinski ("mantel") y la alfombra de Sierpinski son análogos del conjunto de Cantor en el avión;
la esponja de Menger es un análogo de la alfombra de Sierpinski en el espacio tridimensional;
ejemplos de Weierstrass y van der Waerden de una función continua diferenciable en ninguna parte ;
la curva de Koch es una curva continua de longitud infinita que no se corta a sí misma y que no tiene tangente en ningún punto;
la curva de Peano es una curva continua que pasa por todos los puntos del cuadrado;
la trayectoria de una partícula browniana tampoco es diferenciable en ninguna parte con probabilidad 1. Su dimensión de Hausdorff es dos [1] .

Procedimiento recursivo para la obtención de curvas fractales

Existe un procedimiento recursivo simple para obtener curvas fractales en un plano. Definimos una línea quebrada arbitraria con un número finito de enlaces, llamada generador. A continuación, reemplazamos cada segmento con un generador (más precisamente, una línea discontinua similar a un generador). En la línea discontinua resultante, reemplazamos nuevamente cada segmento con un generador. Continuando hasta el infinito, en el límite obtenemos una curva fractal. La figura de la derecha muestra los pasos primero, segundo y cuarto de este procedimiento para la curva de Koch.

Ejemplos de tales curvas son:

curva de Koch (copo de nieve de Koch),
curva de gravamen ,
curva de Minkowski ,
curva de hilbert
Dragón roto (curva) (Fractal Harter-Hateway),
Curva de Peano .
Curva de Myakishev

Usando un procedimiento similar, se obtiene un árbol de Pitágoras .

Fractales como puntos fijos de mapeos de contracción

La propiedad de autosimilitud se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera. Sean mapeos de contracción del plano. Considere el siguiente mapeo en el conjunto de todos los subconjuntos compactos (cerrados y acotados) del plano: $\psi _{i},\,i=1,\puntos,n$ $\Psi \colon K\mapsto \cup _{{i=1}}^{n}\psi _{i}(K)$

Se puede demostrar que el mapeo es un mapeo de contracción en el conjunto de compacta con la métrica de Hausdorff . Por tanto, por el teorema de Banach , esta aplicación tiene un único punto fijo. Este punto fijo será nuestro fractal. $\psi$

El procedimiento recursivo para obtener curvas fractales descrito anteriormente es un caso especial de esta construcción. En él, todas las asignaciones son asignaciones de similitud y es el número de enlaces del generador. $\psi _{i},\,i=1,\puntos,n$ $norte$

Para el triángulo de Sierpinski y la aplicación , , son homotecias con centros en los vértices de un triángulo regular y coeficiente 1/2. Es fácil ver que el triángulo de Sierpinski se transforma en sí mismo bajo el mapeo . $n=3$ $\psi_{1}$ $\psi_{2}$ $\psi_{3}$ $\psi$

En el caso de que las aplicaciones sean transformaciones de similitud con coeficientes , la dimensión del fractal (bajo algunas condiciones técnicas adicionales) se puede calcular como una solución a la ecuación . Entonces, para el triángulo de Sierpinski obtenemos . $\psi _{i}$ $r_{i}>0$ $s$ $r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\puntos +r_{n}^{s}=1$ $s=\ln 3/\ln 2$

De acuerdo con el mismo teorema de Banach , partiendo de cualquier conjunto compacto y aplicándole iteraciones de mapeo , obtenemos una secuencia de conjuntos compactos convergentes (en el sentido de la métrica de Hausdorff) a nuestro fractal. $\psi$

Fractales en dinámicas complejas

Los fractales surgen naturalmente en el estudio de sistemas dinámicos no lineales . El caso más estudiado es cuando el sistema dinámico está definido por iteraciones de un polinomio o una función holomorfa de una variable compleja en el plano. Los primeros estudios en este ámbito datan de principios del siglo XX y están asociados a los nombres de Fatou y Julia.

Sea un polinomio y sea un número complejo . Considere la siguiente secuencia: $F(z)$ $z_{0}$ $z_{0},z_{1}=F(z_{0}),z_{2}=F(F(z_{0}))=F(z_{1}),z_{3}=F(F (F(z_{0})))=F(z_{2}),...$

Estamos interesados en el comportamiento de esta secuencia cuando se acerca al infinito. Esta secuencia puede: $norte$

luchar por el infinito
luchar por lo último
exhibir un comportamiento cíclico en el límite, por ejemplo: $z_{1},z_{2},z_{3},z_{1},z_{2},z_{3},...$
comportarse caóticamente, es decir, no demostrar ninguno de los tres tipos de comportamiento mencionados.

Los conjuntos de valores para los que una secuencia exhibe un tipo particular de comportamiento, así como los conjuntos de puntos de bifurcación entre diferentes tipos, a menudo tienen propiedades fractales. $z_{0}$

Entonces, el conjunto de Julia es el conjunto de puntos de bifurcación para un polinomio (u otra función similar), es decir, aquellos valores para los cuales el comportamiento de la secuencia puede cambiar dramáticamente con cambios arbitrariamente pequeños en . $F(z)=z^{2}+c$ $z_{0}$ $z_n$ $z_{0}$

Otra opción para obtener conjuntos fractales es introducir un parámetro en el polinomio y considerar el conjunto de aquellos valores de parámetros para los cuales la sucesión demuestra un determinado comportamiento para un fijo . Así, el conjunto de Mandelbrot es el conjunto de todos para los cuales y no tiende a infinito. $F(z)$ $z_n$ $z_{0}$ $c\in {\matemáticas {C}}$ $z_n$ $F(z)=z^{2}+c$ $z_{0}$

Otro ejemplo muy conocido de este tipo son las piscinas de Newton .

Es popular crear bellas imágenes gráficas basadas en dinámicas complejas coloreando puntos planos según el comportamiento de los sistemas dinámicos correspondientes. Por ejemplo, para complementar el conjunto de Mandelbrot, puede colorear los puntos dependiendo de la velocidad con la que se acerca al infinito (definida, por ejemplo, como el número más pequeño en el que excede un valor grande fijo ). $z_n$ $norte$ $|z_{n}|$ $A$

Los biomorfos son fractales construidos sobre la base de dinámicas complejas y que se asemejan a organismos vivos.

Fractales estocásticos

Los objetos naturales a menudo tienen una forma fractal. Para su modelado se pueden utilizar fractales estocásticos (aleatorios). Ejemplos de fractales estocásticos:

trayectoria del movimiento browniano en el plano y en el espacio;
límite de la trayectoria del movimiento browniano en el plano. En 2001, Lawler, Schramm y Werner demostraron la conjetura de Mandelbrot de que su dimensión es 4/3.
Evolución de Schramm-Löwner - Curvas fractales conformemente invariantes que surgen en modelos bidimensionales críticos de mecánica estadística , por ejemplo, en el modelo de Ising y la percolación .
varios tipos de fractales aleatorios, es decir, fractales obtenidos mediante un procedimiento recursivo, en el que se introduce un parámetro aleatorio en cada paso. El plasma es un ejemplo del uso de dicho fractal en gráficos por computadora.

Objetos naturales con propiedades fractales

Los objetos naturales ( cuasi -fractales) difieren de los fractales abstractos ideales por lo incompletos e imprecisos de las repeticiones de la estructura. La mayoría de las estructuras similares a fractales que ocurren naturalmente (línea de costa, árboles, hojas de plantas, corales ,...) son cuasi-fractales, porque a pequeña escala la estructura fractal desaparece. Las estructuras naturales no pueden ser fractales ideales debido a las limitaciones que impone el tamaño de la célula viva y, en última instancia, el tamaño de las moléculas .

En la vida silvestre:
- corales
- Estrellas de mar y erizos
- conchas de mar
- Flores y plantas ( brócoli , col )
- Copas de árboles y hojas de plantas.
- Fruta ( piña )
- El sistema circulatorio y los bronquios de humanos y animales .
En la naturaleza inanimada:
- Fronteras de objetos geográficos (países, regiones, ciudades)
- Costas
- Cadenas montañosas
- Copos de nieve
- nubes
- Relámpago
- Patrones helados en los cristales de las ventanas
- cristales
- Estalactitas , estalagmitas , helictitas .

Aplicación

Ciencias naturales

En física, los fractales surgen de forma natural cuando se modelan procesos no lineales, como el flujo de fluidos turbulentos , la difusión compleja : procesos de adsorción , llamas, nubes y similares. Los fractales se utilizan en el modelado de materiales porosos, por ejemplo, en petroquímica. En biología, se utilizan para modelar poblaciones y describir sistemas de órganos internos (sistema de vasos sanguíneos). Después de la creación de la curva de Koch, se propuso utilizarla para calcular la longitud de la línea de costa.

Ingeniería de radio

Antenas fractales

El ingeniero estadounidense Nathan Cohen, que entonces vivía en el centro de Boston , donde estaba prohibido instalar antenas externas en los edificios , fue pionero en el uso de la geometría fractal en el diseño de dispositivos de antena . Nathan recortó una figura en forma de curva de Koch de papel de aluminio y la pegó en una hoja de papel, luego la adjuntó al receptor .

Cohen fundó su propia empresa y fabricó en masa sus antenas. Desde entonces, la teoría de las antenas fractales ha seguido desarrollándose intensamente. [2] [3] [4] La ventaja de tales antenas es multibanda y banda ancha comparativa.

Informática

Compresión de imágenes

Existen algoritmos de compresión de imágenes que utilizan fractales. Se basan en la idea de que en lugar de la imagen en sí, se puede almacenar un mapa de contracción , para el cual esta imagen (o algo cercano a ella) es un punto fijo . Una de las variantes de este algoritmo fue utilizada por Microsoft [5] al publicar su enciclopedia, pero estos algoritmos no fueron ampliamente utilizados.

Gráficos por computadora

Los fractales se utilizan ampliamente en gráficos por computadora para crear imágenes de objetos naturales como árboles, arbustos, paisajes montañosos, superficies marinas, etc. Hay muchos programas que sirven para generar imágenes fractales, ver Fractal Generator (programa) .

Redes descentralizadas

El sistema de asignación de direcciones IP de Netsukuku utiliza el principio de compresión de información fractal para almacenar de forma compacta información sobre los nodos de la red. Cada nodo de la red Netsukuku almacena solo 4 KB de información sobre el estado de los nodos vecinos, mientras que cualquier nuevo nodo se conecta a la red general sin necesidad de una regulación central de la distribución de direcciones IP , que, por ejemplo, es típica para el Internet. Así, el principio de compresión de información fractal garantiza un funcionamiento completamente descentralizado y, por tanto, más estable de toda la red.

Véase también

Notas

↑ Terekhov S. V. Fractales y física de similitud. - Donetsk: Imprenta digital, 2011. - P. 12. - 255 p.
↑ Vishnevsky V. M., Lyakhov A. I., Portnoy S. L., Shakhnovich I. V. Redes inalámbricas de banda ancha para la transmisión de información. — M.: Tecnosfera. - 2005.- C. 498-569
↑ Krupenin S. V. Estructuras de radiación fractal y un modelo analógico de impedancia fractal. Dis. candó. Phys.-Math. Ciencias: 01.04.03, 01.04.04 / [Lugar de protección: Mosk. estado un-t im. MV Lomonosov. física facultad].- Moscú, 2009.- 157 p.
↑ Babichev D. A. Desarrollo e investigación de una antena microstrip basada en el enfoque fractal. Dis. candó. tecnología Ciencias: - 05.12.07. [Lugar de protección: San Petersburgo. estado Ingenieria Eléctrica un-t (LETI)]. - San Petersburgo, 2016. - 104 p. [1] Archivado el 19 de junio de 2018 en Wayback Machine .
↑ Compresión de imágenes fractales Archivado el 23 de febrero de 2014 en Wayback Machine en Computerworld Russia

Literatura

Abachiev S. K. Sobre el triángulo de Pascal, divisores simples y estructuras fractales // En el mundo de la ciencia, 1989, No. 9.
Baljanov V.K. Fundamentos de Geometría Fractal y Cálculo Fractal . - Ulan-Ude: BSU Publishing HOUSE, 2013. - 224 p. - ISBN 978-5-9793-0549-3 . (Ruso)
Demenok S. L. Just a Fractal . — Ciclo de publicaciones "Fractales y Caos". - San Petersburgo: "STRATA", 2019.
Demenok S. L. Superfractal . — Ciclo de publicaciones "Fractales y Caos". - San Petersburgo: "STRATA", 2019.
Ivanov M. G., " Tamaño y dimensión " // "Potencial", agosto de 2006.
Kirillov A. A. Historia de dos fractales . — Escuela de verano "Matemáticas Modernas". — Dubná, 2007.
Hermosa vida de números complejos // Hard'n'Soft, № 9, 2002. Pp. 90.
Kronover R. M. Fractales y caos en sistemas dinámicos. Fundamentos de la teoría.
Lipov A. N. Fractales. En memoria de Benoit Mandelbrot // Filosofía y Cultura No. 9 (33) 2010. No. 8. P. 39-54.
Mavrikidi F. I. Matemáticas fractales y la naturaleza del cambio // "Delphis" - No. 54 (2) - 2008.
Mavrikidi F. I. Fractales: comprender el mundo interconectado // "Delphis" - No. 23 (3) - 2000.
Mandelbrot B. Geometría fractal de la naturaleza. - M .: "Instituto de Investigación Informática", 2002.
Mandelbrot Benoist , Richard L. Hudson. Mercados (des)obedientes: una revolución fractal en las finanzas = el mal comportamiento de los mercados. - M. : "Williams" , 2006. - 400 p. — ISBN 5-8459-0922-8 .
Paytgen H.-O., Richter P. H. La belleza de los fractales. Imágenes de sistemas dinámicos complejos. - M.: "Mir", 1993.
Feder E.Fractales. -M: "Mir", 1991.
Fomenko A. T. Geometría visual y topología. - M.: Editorial MSU, 1993.
Fractales en física. Actas del 6º Simposio Internacional sobre Fractales en Física, 1985 . - M.: "Mir", 1988.
Tsitsin F. A. Universo fractal // "Delphis" - No. 11 (3) - 1997.
Schroeder M. Fractales, caos, leyes de potencia. Miniaturas de un paraíso sin fin. - Izhevsk: "RHD", 2001.

Enlaces

Fractales y Caos
Sistemas Lindenmeier (L-Systems). Herramienta en línea para generar fractales geométricos.
Fractales en números primos - Artículo de Sergey Gerasimov en habrahabr
Artículo sobre fractales. Se dan ejemplos de cálculo y construcción de una interpretación gráfica de algunos fractales algebraicos y geométricos. Hay enlaces a generadores en línea y códigos fuente de C#.
Nadezhda Atayeva, Fractal Sets (Universidad Estatal de San Petersburgo: PM-PU)
El encanto de la autosemejanza . La bombilla de Mandelbrot y más en la galería de fractales de Lenta. Ru // Lenta. Ru, 27 fotos.
Los fractales son la geometría de la naturaleza . Implementación de fractales en delphi y mucho más en el Club de Programadores .
"Fractales. La búsqueda de nuevas dimensiones” ( ing. Fractals. Hunting The Hidden Dimension ) es una película de divulgación científica rodada en 2008.
Fractales en Elementy.ru
JJ O'Connor, E. F. Robertson. Una historia de la geometría fractal . MacTutor Archivo de Historia de las Matemáticas . Escuela de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews, Escocia (febrero de 2009). (indefinido)
Gelashvili D.B., Iudin D.I., Rozenberg G.S., Yakimov V.N., Solntsev L.A. Fractales y multifractales en bioecología. Nizhny Novgorod: Editorial de la Universidad Estatal de Nizhny Novgorod, 2013. 370 p.

diccionarios y enciclopedias	Gran danés Gran catalán gran noruego gran noruego gran ruso Britannica (en línea) universalis
En catálogos bibliográficos	BNF : 119730272 J9U : 987007548246005171 LCCN : sh85051147 NDL : 00576561 NKC : ph120342

fractales
Características	dimensión fractal Dimensión de Hausdorff Dimensión de Lebesgue recursión auto-similitud
Los fractales más simples	helecho barnsley conjunto cantor curva de dragón curva de Koch Esponja Menger alfombra sierpinski Triángulo de Sierpinski Curva que llena el espacio
atractor extraño	Multifractal
sistema L	Curva que llena el espacio
Fractales de bifurcación	julia conjunto Fractal de Lyapunov Conjunto de Mandelbrot piscinas de newton
Fractales aleatorios	movimiento browniano árbol browniano superficie fractal Teoría de la percolación
Gente	Jorge Kantor Félix Hausdorff Gastón Julia Helge von Koch Pablo Levy Alejandro Liapunov benoit mandelbrot lewis richardson vaclav sierpinski
Temas relacionados	¿ Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? » Paradoja de la costa

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea Hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio

Patrones geométricos en la naturaleza.
patrones	Grieta Duna Espuma Meandro Filotaxis Burbuja de jabón Simetría en cristales cuasicristales en flores en biología embaldosado calle vórtice Ola estructura ancha
Procesos	Formación de patrones Biología Seleccion natural Mimetismo selección sexual Matemáticas Teoría del caos fractales espiral logarítmica Física cristales hidroaerodinámica leyes de la meseta autoorganización
Investigadores	Platón Pitágoras Empédocles fibonacci libro de ábaco Adolf Zeising Ernst Haeckel Meseta de José wilson bentley darcy thompson Sobre el crecimiento y la forma. alan turing Bases químicas de la morfogénesis Aristide Lindenmeier benoit mandelbrot ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?
Artículos relacionados	Reconocimiento de patrones Matemáticas y Bellas Artes