Teorema de Jordan

El teorema de Jordan es un teorema clásico de topología, conocido por su simplicidad de formulación y extrema complejidad de demostración.

Redacción

Una curva plana cerrada simple (es decir, que no tiene autointersecciones) divide el plano en dos componentes conectados y es su límite común. [una]

Notas

De los dos componentes conectados, uno (el interior ) está acotado; caracterizado por el hecho de que el grado relativo a cualquier punto en es igual a ; el otro (exterior ) es ilimitado, y el grado con respecto a cualquier punto en es igual a cero. Por el teorema de Schoenflies, el primero es siempre homeomorfo a un disco. [una]

Historia

El teorema fue formulado y probado por Camille Jordan en 1887 .

A menudo se afirma que la prueba de Jordan no fue completamente exhaustiva, y Oswald Veblen dio la primera prueba completa en 1905 . [2] Sin embargo, Thomas Hales escribe que la prueba de Jordan no contiene errores, y la única afirmación posible contra esta prueba es que Jordan asume que la afirmación del teorema se conoce en el caso en que la curva cerrada es un polígono. [3]

Acerca de la evidencia

Se conocen varias demostraciones simples del teorema de Jordan.

• Una prueba breve y elemental del teorema de Jordan fue propuesta por Aleksey Fedorovich Filippov en 1950, mientras que el propio Filippov señala que, independientemente de él, Aizik Isaakovich Volpert [4] propuso una prueba muy similar .
• Doyle proporciona una prueba muy breve que utiliza el grupo fundamental . [5]

Variaciones y generalizaciones

• El teorema de Jordan se generaliza en dimensión:

Cualquier subvariedad bidimensional en , homeomorfa a una esfera, divide el espacio en dos componentes conectadas y es su límite común. Esto fue demostrado por Lebesgue , y en el caso general por Brouwer , razón por la cual el teorema de Jordan -dimensional a veces se llama teorema de Jordan-Brauer. [una]

• Además, cualquier subvariedad compacta conexa -dimensional divide el espacio en dos componentes conexas y es su límite común. La demostración se obtiene aplicando la dualidad de Alejandro .

• El teorema de Schoenflies establece que existe un homeomorfismo de un plano en sí mismo que asigna una curva de Jordan dada a un círculo.
  • En particular, el componente acotado en el teorema de Jordan es homeomorfo al disco unitario, y el componente no acotado es homeomorfo al exterior del disco unitario.
  • El ejemplo de la esfera salvaje muestra que una declaración similar no es cierta en dimensiones superiores.

Véase también

• curva de jordania
• Los lagos de Vada son un ejemplo patológico que muestra la no trivialidad del teorema de Jordan.

Notas

1. ↑ 1 2 3 IM Vinogradov. Teorema de Jordan // Enciclopedia Matemática. — M.: Enciclopedia soviética . - 1977-1985. (Ruso)
2. ↑ Véase, por ejemplo, R. Courant, G. Robbins. ¿Qué son las matemáticas? - M.: MTSNMO, 2010, - S. 270-271.
3. ↑ Hales, Thomas. Prueba de Jordan del teorema de la curva de Jordan  //  Estudios de lógica, gramática y retórica. - 2007. - vol. 10 , núm. 23 . - P. 45-60 .
4. ↑ AF Filippov . Prueba elemental del teorema de Jordan  // Uspekhi Mat . - 1950. - V. 5 , No. 5 (39) . - S. 173-176 . Archivado desde el original el 24 de diciembre de 2013.
5. ↑ PH Doyle. Separación de planos. proc. Filosofía de Cambridge. soc. 64 (1968), pág. 291.

Literatura

• Anosov DV Mapeos de círculos, campos vectoriales y sus aplicaciones.  - M. : editorial MTSNMO, 2003.
• Filippov AF Prueba elemental del teorema de Jordan.  — UMN 5:5(39) (1950), 173-176.
• Jordan C. Cours d'analyse, t. I, P., 1893.
• Vallée Poussin. Un curso de análisis de infinitesimales. - por. del francés, volumen 2, L.-M., 1933.
• Alexandrov P. S. Topología combinatoria. - M.-L., 1947.
• Dieudonne J. Fundamentos del análisis moderno. - por. del inglés, M .: 1964.
• Boltyansky V. G. , Efremovich V. A. Topología visual. — M .: Nauka, 1982. — 160 p.
• Teorema de Prasolov V. V. Jordan. - Matemáticas. educación, abril-septiembre de 1999, 95-101.

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