Criterio de Cauchy

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El criterio de Cauchy es un criterio para la existencia de un límite . La condición del criterio de Cauchy es similar a la definición del límite, pero a diferencia de la definición, el criterio no utiliza un valor límite específico en ninguna parte de su condición. Esto permite probar la existencia de un límite sin saber nada sobre su valor específico. Hay muchas formulaciones diferentes del criterio de Cauchy para varios objetos de análisis: sucesiones, series, integrales, funciones, etc.

Criterio de Cauchy para la existencia de un límite de una sucesión numérica

Para el caso más simple de una secuencia numérica, el criterio de Cauchy se formula de la siguiente manera.

Sea una sucesión numérica (sucesión con elementos de ). $un$ $\matemáticas {R}$

$un$ tiene un límite en si y sólo si: $\matemáticas {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m,n>N\colon |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon

[una]

La condición impuesta a la sucesión en el criterio de Cauchy se denomina condición de Cauchy . A primera vista, el criterio de Cauchy no es mucho más simple que la definición del límite, pero no es así en absoluto. La definición del límite se formula para el valor ya conocido del límite. Para probar la existencia de un límite a través de una definición, se debe saber de antemano a qué será igual ese límite. La refutación de la condición en la definición del límite sólo significará que este valor particular que hemos considerado no es un límite, pero no dirá absolutamente nada acerca de si algún otro valor es un límite o no. Para probar la inexistencia del límite, será necesario comprobar todos los valores posibles de los límites. El criterio de Cauchy, en cambio, tiene una condición similar pero sin utilizar el valor del límite de la sucesión, lo que permite utilizarlo sin conocer información sobre el posible valor del límite.

El requisito bajo la condición de que el límite sea un número real es bastante significativo. El criterio de Cauchy no se aplica a los números racionales : una secuencia de números racionales puede converger en un número irracional. Por lo tanto, satisface la condición de Cauchy, pero no tiene límite en números racionales. Contraejemplo: Recta numérica extendida . Una secuencia que tiende a infinito no satisface la condición de Cauchy. Pero el criterio de Cauchy aún se puede generalizar a algunos conjuntos. Por ejemplo, en cualquier parte de la formulación puede reemplazar con , o considerar números complejos en lugar de números reales. La generalización del criterio de Cauchy a otros conjuntos se discutirá más adelante. $\matemáticas {R}$ $\mathbb{R} ^{n}$

Prueba

Necesitar.

Deje que la sucesión converja a . Escribamos la definición del límite. $a_{n}\en \mathbb {R}$ $a\in {\matemáticas {R}}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n>N\colon |a_{n}-a|<{\frac {\varepsilon}{2))

Arreglamos y tomamos lo correspondiente . Tomemos arbitrariamente . Después: $\varepsilon$ $norte$ ${\ estilo de visualización m, n> N}$

|a_{n}-a_{m}|\leq |a_{n}-a|+|a-a_{m}|<{\frac {\varepsilon}{2))+{\frac { \varepsilon }{2}}<\varepsilon

Adecuación.

La prueba se puede dividir en 3 partes. En la primera parte se prueba la acotación de la sucesión. En el 2º, utilizando el teorema de Bolzano-Weierstrass , se extrae de él una subsucesión convergente. En la 3ra parte, demostramos que el límite de esta subsucesión es el límite de toda la sucesión.

1. Secuencia limitada

Escribamos la condición de Cauchy.

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n,m>N\colon |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon

Arreglamos y tomamos lo correspondiente . arreglar _ Entonces resulta que a partir del término de la sucesión, toda la sucesión se encuentra en la vecindad de , lo que significa que está acotada. $\varepsilon$ $norte$ ${\ estilo de visualización m> N}$ $N+1$ $\varepsilon$ $soy$

2. Teorema de Bolzano-Weierstrass

Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, una secuencia numérica acotada tiene una subsecuencia convergente . Denotemos su límite como . $un$ $a_{n_{k))$ $a$

3. El límite de una subsucesión es el límite del todo

Escribamos la condición de Cauchy.

\forall \varepsilon >0\ \exists N_{1}\in \mathbb {N} \ \forall n,m>N_{1}\colon |a_{n}-a_{m}|<{\ fracción {\ varepsilon }{2}}

Escribamos la definición de límite de una subsucesión.

\forall \varepsilon >0\ \exists N_{2}\in \mathbb {N} \ \forall k>N_{2}\colon |a_{n_{k}}-a|<{\frac { \varepsilon }{2}}

Nosotros arreglamos Tomamos el correspondiente y . Tomemos uno tal que . Después $\varepsilon$ $N_1$ $N_2$ ${\ Displaystyle n> N_ {1}}$ $k>N_{2}$ ${\displaystyle n_{k}>N_{1))$

|a_{n}-a|\leq |a_{n}-a_{n_{k}}|+|a_{n_{k}}-a|<{\frac {\varepsilon }{2} }+{\frac{\varepsilon}{2}}<\varepsilon

Formulaciones del criterio de Cauchy para varios objetos de análisis

En todas partes a continuación se puede reemplazar por , o . $\matemáticas {R}$ $\mathbb{R} ^{n}$ $\matemáticas {C}$ $\mathbb{C}^n$

Criterio de Cauchy para la existencia de un límite de una función

Sea la función definida , sea la base en . $f\colon X\to \mathbb {R}$ ${\mathfrak {B}}$ $X$

El límite base de una función existe si y sólo si $F$ ${\mathfrak {B}}$ $\matemáticas {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B}}\forall x_{1},x_{2}\in b\colon |f(x_{1})-f(x_ {2})|<\varepsilon

[2]

Todos los criterios de Cauchy para números reales son, de un modo u otro, un caso especial del criterio de Cauchy para una función.

Criterio de Cauchy para la integrabilidad de Riemann de una función

Sea definida la función . $f\dos puntos [a;b]\to \mathbb {R}$

Una función es Riemann integrable si y solo si: $F$ $[a;b]$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall (\tau ',\xi '),(\tau '',\xi '')\in T'[a;b], d(\tau ')<\delta ,d(\tau '')<\delta :|\sigma (f,\tau ',\xi ')-\sigma (f,\tau '',\xi '' )|<\varepsilon

[3]

El criterio se transfiere casi sin cambios a integrales múltiples (el intervalo se reemplaza por un conjunto medible de Jordan).

Criterio de Cauchy para la convergencia de una serie de números

Sea una serie de números (una serie con elementos de ). $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$ $\matemáticas {R}$

La serie converge si y solo si: $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$ $\matemáticas {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m>N\ \forall p\in \mathbb {N} \colon \left|\sum _{i=m} ^{m+p}a_{i}\right|<\varepsilon

[cuatro]

El criterio de Cauchy para la convergencia de una integral impropia

Sea una función definida y en un punto tiene una singularidad de primera o segunda clase. $f\dos puntos [a;b)\to \mathbb {R}$ $b$

La integral impropia converge si y solo si: ${\ estilo de visualización \ int \ límites _ {a}^ {b} f (x) \, dx}$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b),x_{1}<x_{2} \colon \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx\right|<\varepsilon

[5]

El criterio también se puede formular para el caso si la singularidad está en el punto . Entonces la integral impropia converge si y solo si: $a$ ${\ estilo de visualización \ int \ límites _ {a}^ {b} f (x) \, dx}$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in (a;b]\forall x_{1},x_{2}\in (a;\delta ),x_{1}<x_{2} \colon \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx\right|<\varepsilon

Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de una sucesión funcional

Sea una secuencia funcional, . $f_{n}(x)$ $f_{n}\colon X\to \mathbb {R}$

Una sucesión converge uniformemente en alguna función si y solo si: $f_{n}(x)$ $X$ $f\dos puntos X\to \mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m,n>N\ \forall x\in X\colon \left|f_{m}(x)-f_{ n}(x)\right|<\varepsilon

[6]

El criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de una familia de funciones

Sea la función definida , sea la base en . $f\dos puntos X\veces Y\to \mathbb {R}$ ${\mathfrak {B}}$ $X$

Una función converge uniformemente a una función con respecto a la base si y solo si $f(x,y)$ $Y$ $f\dos puntos Y\to \mathbb {R}$ ${\mathfrak {B}}$

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B}}\forall x_{1},x_{2}\in b\ \forall y\in Y\colon |f(x_{ 1},y)-f(x_{2},y)|<\varepsilon

[7]

Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de una serie funcional

Sea una serie funcional, . $\sum _{n=1}^{\infty}f_{n}(x)$ $f_{n}\colon X\to \mathbb {R}$

Una serie converge uniformemente en alguna función si y solo si: $\sum _{n=1}^{\infty}f_{n}(x)$ $X$ $f\dos puntos X\to \mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m>N\ \forall p\in \mathbb {N} \ \forall x\in X\colon \left|\ suma _ {i=m}^{m+p}f_{i}(x)\right|<\varepsilon

[6]

El criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de una integral impropia con el parámetro

Sea una función definida y en un punto tiene una singularidad de primera o segunda clase. $f\dos puntos [a;b)\times Y\to \mathbb {R}$ $b$

Una integral impropia con un parámetro converge uniformemente si y solo si: ${\ estilo de visualización \ int \ límites _ {a}^ {b} f (x, y) \, dx}$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b),x_{1}<x_{2} \ \forall y\in Y\colon \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x,y)\,dx\right|<\varepsilon

[ocho]

Sea una función definida y en un punto tiene una singularidad de primera o segunda clase. $f\dos puntos (a;b]\times Y\to \mathbb {R}$ $a$

Una integral impropia con un parámetro converge uniformemente si y solo si: ${\ estilo de visualización \ int \ límites _ {a}^ {b} f (x, y) \, dx}$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in (a;b]\ \forall x_{1},x_{2}\in (a;\delta ),x_{1}<x_{2 }\ \forall y\in Y\colon \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x,y)\,dx\right|<\varepsilon

Criterio de Cauchy y definición de números reales de Cantor

Como se mencionó anteriormente, el criterio de Cauchy no se aplica a los números racionales . Incluso se puede decir más: el cumplimiento del criterio de Cauchy es la propiedad misma que distingue a los números reales de los racionales. Esto debe entenderse en el sentido de que agregar nuevos elementos a los números racionales de tal manera que se satisfaga el criterio de Cauchy producirá un conjunto de números reales. La definición de Cantor de los números reales se basa en este hecho .

De lo anterior se deduce que el criterio de Cauchy no se aplica a ningún conjunto en el que se pueda considerar tal condición. Sea algún conjunto de números. La secuencia de elementos de este conjunto que satisface la condición de Cauchy se denomina fundamental (o secuencia de Cauchy). Es decir, una sucesión fundamental es una sucesión para la que se cumple la siguiente condición: $X$ $un$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m,n>N\colon |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon

Cualquier secuencia convergente de elementos es fundamental. Pero al mismo tiempo, no converge en ninguna secuencia fundamental de elementos . Un ejemplo de tal situación es el conjunto . Considere la siguiente secuencia de números racionales: $X$ $X$ $X$ $X$ $\matemáticas {Q}$

0.1;0.101;0.101001;0.1010010001;\ldots

Es obvio que converge a un número irracional , lo que significa que es fundamental. Pero al mismo tiempo, en el conjunto de los números racionales, esta sucesión no tiene límite. Así, el criterio de Cauchy establece que en los números reales converge cualquier sucesión fundamental. $0.101001000100001\ldots$

Todos los números reales son el límite de alguna secuencia fundamental de números racionales. Esta propiedad nos permite construir la definición de Cantor de los números reales. Es simplemente imposible asignar un número real a cada no convergente en la secuencia fundamental: diferentes secuencias pueden converger en el mismo número. Sin embargo, es obvio que la diferencia de tales secuencias será igual a . Identificamos las sucesiones fundamentales de números racionales cuya diferencia tiende a cero. Cada conjunto de secuencias identificadas corresponderá exactamente a un número real. Así, es posible definir los números reales como estos mismos conjuntos. Las operaciones de suma, diferencia, multiplicación de números reales corresponden a las operaciones de suma, diferencia, multiplicación de sucesiones. $\matemáticas {Q}$ ${\ estilo de visualización 0}$

Criterio de Cauchy en el espacio métrico

El concepto de sucesión fundamental se puede generalizar a cualquier espacio métrico . Sea un espacio métrico. Una secuencia de elementos se llama fundamental si se cumple la siguiente condición: $(X,\rho)$ $un$ $X$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m,n>N\colon \rho (a_{m},a_{n})<\varepsilon

Esto generaliza la noción de una secuencia fundamental para un conjunto de números. La fundamentalidad depende de la métrica del espacio: una secuencia fundamental en una métrica puede no serlo en otra. Para un conjunto de números, también puede especificar una métrica distinta a la estándar, y la definición de una secuencia fundamental diferirá de la definición en la sección anterior. Por lo tanto, hablando de una secuencia fundamental, es necesario fijar en qué métrica se asume la naturaleza fundamental.

Toda sucesión convergente de un espacio métrico es fundamental, pero no toda sucesión fundamental converge a un elemento de su espacio. El espacio en el que converge toda sucesión fundamental se llama completo . Así, es un espacio métrico completo, pero no. $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {Q}$

Por lo tanto, el criterio de Cauchy se cumple para cualquier espacio métrico completo. Debe entenderse que su implementación en un espacio métrico completo se sigue trivialmente de la definición, simplemente porque el espacio entonces es completo cuando se satisface el criterio de Cauchy en él. Su cumplimiento en el conjunto de los números reales no se sigue trivialmente de la definición: el hecho de que el conjunto de los números reales sea un espacio métrico completo requiere demostración. Así, la prueba del criterio de Cauchy para números reales es una prueba de su completitud, y su cumplimiento en el caso más general de un espacio métrico completo arbitrario no requiere prueba alguna.

La construcción de números reales de Cantor se puede aplicar en general a cualquier espacio métrico. De manera similar, al identificar las sucesiones fundamentales cuya diferencia tiende a cero, obtenemos un superespacio sobre el espacio original, que entonces será completo. Tal operación se llama reposición . Los números reales no son más que la terminación de los racionales. La operación de terminación no completa el espacio con todos los límites posibles de las sucesiones, ni siquiera en el sentido de un límite parcial: la sucesión de números naturales, por ejemplo, no tiene un límite parcial en . $\matemáticas {R}$

Debe entenderse que el criterio de Cauchy tiene sentido solo para espacios métricos. Por ejemplo: la secuencia de números naturales tiende a en . Sin embargo, no es fundamental. Esto sucede porque no es un espacio métrico, lo que significa que el concepto de sucesión fundamental no se puede definir en absoluto. La fundamentalidad depende de la métrica, pero no en la métrica. La secuencia de los números naturales no es fundamental en la métrica , pero no tiene sentido decir algo profundo en ella. A pesar de esto, una métrica se puede especificar en un espacio topológico. Restringirlo a por supuesto no coincidirá con la métrica estándar , pero al mismo tiempo, en tal métrica, la secuencia de números naturales ya será fundamental. En este caso, en la definición habitual de fundamentalidad para sucesiones numéricas, se sustituirá el módulo de la diferencia por la fórmula de la métrica que se define en . $+\infty$ ${\overline{R))$ ${\overline{R))$ ${\overline{R))$ $\matemáticas {R}$ ${\overline{R))$ ${\overline{R))$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {R}$ ${\overline{R))$

Criterio de Cauchy para la existencia de un límite de una función, con valores en un espacio métrico completo

El criterio de Cauchy más general se puede formular para funciones con valores en un espacio métrico completo. Todos los demás criterios son casos especiales de este.

Sea una función definida , sea una base en , sea un espacio métrico completo. $f\dos puntos X\a Y$ ${\mathfrak {B}}$ $X$ $Y$

El límite base de una función existe si y sólo si $F$ ${\mathfrak {B}}$ $Y$

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B}}\forall x_{1},x_{2}\in b\colon \rho (f(x_{1}),f (x_{2}))<\varepsilon

Este criterio no se sigue trivialmente de la definición de completitud. Para un espacio métrico arbitrario, una función que satisfaga esta condición no necesita converger a un elemento en él, pero convergerá a un elemento en algunas de sus terminaciones.

Prueba

Sea dado un espacio métrico ${\ estilo de visualización (Y, \ rho)}$

Necesitar.

La necesidad ni siquiera exige la completitud del espacio métrico . Deje que la función converja a . Escribamos la definición del límite. $Y$ $f(x)\dos puntos X\a Y$ ${\ estilo de visualización a \ en Y}$

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B))\ \forall x\in B\colon \rho (f(x),a)<{\frac {\varepsilon }{ 2}}

Arreglamos y tomamos lo correspondiente . Tomemos arbitrariamente . Después: $\varepsilon$ $b$ ${\ estilo de visualización x_ {1}, x_ {2} \ en b}$

\rho (f(x_{1}),f(x_{2}))\leq \rho (f(x_{1}),a)+\rho (a,f(x_{2}) )<{\frac {\varepsilon}{2}}+{\frac{\varepsilon}{2}}<\varepsilon

Adecuación.

Esta vez, la plenitud del espacio es fundamental. La demostración es la misma que en el caso de una sucesión numérica dividida en partes. La primera parte contiene una sucesión convergente, y la segunda prueba que el límite de esta sucesión es el límite de toda la función con respecto a la base. $Y$

1. Selección de secuencia

La primera parte de la prueba se basa en el axioma de elección contable ). Escribamos la condición de Cauchy.

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B}}\ \forall x_{1},x_{2}\in b\colon \rho (f(x_{1}), f(x_{2}))<\varepsilon

Tomemos uno arbitrario y arreglémoslo. Tomemos el correspondiente . Denotemos por . Elijamos un punto arbitrario . Así, para cada uno hemos elegido un punto . $n\in {\matemáticas {N}}$ $b_{n}\in {\mathfrak{B}}$ $\epsilon ={\frac{1}{n}}$ ${\displaystyle b_{n}'\subconjunto b_{1}\cap \ldots \cup b_{n))$ $b_{n}'$ $un$ $norte$ $un$

Considéralo como una secuencia. A partir del elemento , los miembros de la sucesión se encuentran en , es decir , y por lo tanto . Por lo tanto, la secuencia es fundamental, lo que significa que converge. $un$ $norte$ $b_n$ ${\displaystyle \forall m>=n\dos puntos a_{m}\in b_{n))$ $\forall k,m>=n\colon \rho (f(a_{k}),f(a_{m}))<{\frac {1}{n))$ ${\ estilo de visualización f (a_ {n})}$

2. El límite de una sucesión es el límite de toda la función

Secuencia : converge a algún elemento . Escribimos la definición del límite, tomando : ${\ estilo de visualización f (a_ {n})}$ ${\ estilo de visualización c \ en Y}$ $\varepsilon ={\frac{1}{2n))$

\forall n\in \mathbb {N} \ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m>N\colon \rho (f(a_{m}),c)<{\frac { 1}{2n}}

Nosotros arreglamos Tomamos por ello el correspondiente y arbitrario tal que . Después: $n\in \mathbb {N}$ $norte$ ${\ estilo de visualización m> N}$ ${\ estilo de visualización m> 2n}$

{\ estilo de visualización \ rho (f (a_ {m}), c) <{\ frac {1} {n}}}

Lo tomamos como se definió en la 1ra parte. Entonces, para cualquier $b_{m}$ ${\ estilo de visualización x \ en b_ {m}}$

\rho (f(x),f(a_{m}))<{\frac {1}{m))<{\frac {1}{2n))

Finalmente obtenemos:

\rho (f(x),c)\leq \rho (f(x),f(a_{m}))+\rho (f(a_{m}),c)<{\frac { 1}{2n}}+{\frac{1}{2n}}={\frac{1}{n}}

De hecho, la demostración del criterio de Cauchy para sucesiones numéricas también utiliza el axioma de elección numerable, solo que implícitamente. Su demostración utiliza el teorema de Bolzano-Weierstrass, que depende del axioma de elección contable, o más precisamente, del axioma de elección contable para subconjuntos . $\matemáticas {R}$

Notas

↑ Arkhipov, 1999 , pág. 56.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 66.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 539.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 334.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 231.
↑ 1 2 Arkhipov, 1999 , pág. 374.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 416.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 419.

Literatura

Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Conferencias sobre Análisis Matemático / Ed. V. A. Sadovnichy. - 1ª ed. - M. : Escuela Superior , 1999. - 695 p. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudryavtsev L. D. Curso de Análisis Matemático. En 3 tomos. T. 1. Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable.- M. : Drofa, 2003. - 704 p.