Lema de Burnside

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El lema de Burnside (o el lema de Cauchy-Frobenius ) es un resultado clásico de la teoría de grupos combinatoria, da una expresión para el número de órbitas en una acción de grupo. El lema de Burnside subyace a la prueba del teorema de Redfield-Polyi .

Redacción

Sea un grupo finito actuando sobre el conjunto . Entonces el número de órbitas de acción es igual al número medio de puntos, puntos fijos en los elementos . $GRAMO$ $X$ $X$ $GRAMO$

Más precisamente, para cualquier elemento de lo denotaremos por el conjunto de elementos dejados en su lugar , es decir, $gramo$ $GRAMO$ $X^{g}$ $X$ $gramo$

X^{g}=\{\,x\in X\mid g\cdot x=x\,\}.

Entonces ( número natural o infinito)

|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,

aquí denota el número de órbitas de acción. $|X/G|$

Prueba

El número de órbitas es igual , pero según la fórmula de las órbitas , donde significa el estabilizador del elemento , entonces la suma es igual a . Anotemos todos los elementos en una columna y escribamos al lado de cada uno aquellos elementos que dejen inmóvil a este elemento. Entonces un elemento arbitrario del grupo ocurrirá el mismo número de veces que deja los elementos inmóviles, es decir exactamente una vez, y por tanto la suma es igual a la suma , como se ha dicho. $\sum _{m\in X}{\frac {1}{|Orb(m)|}}$ $|Orbe(m)|=[G:G_{m}]={\frac {|G|}{|G_{m}|}}$ $G_{m}$ $metro$ ${\frac {1}{|G|}}\sum _{m\in X}|G_{m}|$ $X$ $metro$ $GRAMO$ $gramo$ $GRAMO$ $X$ ${\ estilo de visualización | X ^ {g} |}$ ${\ estilo de visualización \ suma _ {m \ en X} | G_ {m} |}$ ${\ estilo de visualización \ suma _ {g \ en G} | X ^ {g} |}$

Consecuencias

Si la acción de un grupo finito sobre un conjunto es transitiva , entonces $GRAMO$ $X$

\sum _{g\in G}|X^{g}|=|G|.

Historia

William Burnside formuló y demostró este lema (sin atribución) en uno de sus libros ( 1897 ), pero los historiadores de las matemáticas han descubierto que él no fue el primero en descubrirlo. Cauchy en 1845 y Frobenius en 1887 también conocían esta fórmula. Aparentemente, el lema era tan conocido que Burnside simplemente omitió la atribución de Cauchy. Por lo tanto, este lema a veces se denomina lema no de Burnside . Este título no es tan vago como parece: el trabajo de Burnside fue tan fructífero que la mayoría de los lemas en esta área son suyos.

Literatura

Burnsside, William. Teoría de grupos de orden finito . — Prensa de la Universidad de Cambridge , 1897.
Burnside, William (1897) Theory of Groups of Finite Order , Cambridge University Press , en Project Gutenberg y aquí en Archive.org . (Esta es la primera edición; la introducción a la segunda edición contiene el famoso giro de Burnside sobre la utilidad de las teorías de la representación ).
Frobenius, Ferdinand Georg (1887), Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul, Crelle T. CI: 288 .
Neumann, Peter M. (1979), Un lema que no es de Burnside, The Mathematical Scientist Vol. 4 (2): 133–141, ISSN 0312-3685 .
Rotman, Joseph (1995), Introducción a la teoría de grupos , Springer-Verlag, ISBN 0-387-94285-8 .

Enlaces

R. Borcherds , Teoría de grupos 10: el lema de Burnside en YouTube