Lema de Vitali en portadas

El lema de cobertura de Vitali es un resultado geométrico combinatorio . Ampliamente utilizado en la teoría de la medida .

Este lema se usa en la demostración del teorema de cobertura de Vitali , pero también es de interés por derecho propio. Nombrado en honor al matemático italiano Giuseppe Vitali .

Redacción

Versión final

Sea un conjunto finito de bolas contenidas en un espacio euclidiano de dimensión d R d (o, más generalmente, en un espacio métrico arbitrario ). Entonces existe un subconjunto de estas bolas en el que las bolas son disjuntas por pares, y ${\displaystyle B_{1},\ldots,B_{n))$ $B_{j_{1)),B_{j_{2)),\puntos,B_{j_{m))$

B_{1}\cup B_{2}\cup \ldots \cup B_{n}\subseteq 3B_{j_{1}}\cup 3B_{j_{2}}\cup \ldots \cup 3B_{j_ {metro}},

donde denota una bola con el mismo centro que y pero con tres veces el radio. ${\ estilo de visualización 3B_ {j_ {k}}}$ ${\ Displaystyle B_ {j_ {k}}}$

Versión sin fin

Sea un conjunto arbitrario (contable o incontable) de bolas en R d (o, más generalmente, en un espacio métrico) tal que ${\displaystyle \{B_{j}\mid j\in J\))$

\sup \,\{\mathrm {rad} (B_{j})\mid j\in J\}<\infty ,

donde denota el radio de la bola B j . Entonces para cualquier existe un subconjunto contable ${\ estilo de visualización \ matemáticas {rad} (B_ {j})}$ ${\ Displaystyle k> 3}$

\{B_{j}\mid j\in J'_{k}\},\quad J'_{k}\subconjunto J,

bolas disjuntas por pares tales que

\bigcup_{j\in J}B_{j}\subseteq \bigcup_{j\in J'_{k}}k\,B_{j}.

Notas

En la versión infinita, el lema deja de ser cierto si los radios no están acotados: por ejemplo, esto no es cierto para un conjunto infinito de bolas concéntricas con radios enteros positivos.
En el caso más general, para un espacio métrico arbitrario, la elección de una subcolección disjunta máxima de bolas requiere alguna forma del lema de Zorn .

Consecuencias

En cualquier conjunto finito de bolas en un espacio euclidiano bidimensional con volumen de unión , se puede elegir un subconjunto de bolas que se intersectan con un volumen total de al menos . $norte$ $V$ ${\tfrac {1}{3^{n}}}\cdot V$
- El coeficiente no es óptimo y el valor óptimo no se conoce. [una] ${\ estilo de visualización {\ tfrac {1} {3 ^ {n}}}}$

Variaciones y generalizaciones

En lugar de bolas, se pueden tomar otras regiones con condiciones bastante débiles. [2]
El lema de Besikovich es un análogo del lema de Vitali. Es aplicable para medidas arbitrarias, pero solo para espacios métricos simples, incluido el espacio euclidiano, mientras que el Lema de Vitali es aplicable en espacios métricos arbitrarios para medidas con la propiedad de duplicación. Esto último significa que para alguna constante real y una bola arbitraria tenemos $\mu$ $C$ $B$ ${\ estilo de visualización \ mu (2B) \ leq C \ cdot \ mu (B)}$

Notas

↑ La constante óptima en Vitali que cubre el lema
↑ Federer G. Teoría de la medida geométrica. - 1987. - 760 págs.

Literatura

Vitali, Giuseppe (1908), Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali , Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino T. 43: 75–92 , < http://www.archive.org/stream/attidellarealeac43real#page /228/modo/2up > .
I. P. Natanson . La teoría de funciones de variable real.