Pelota

La pelota es un cuerpo geométrico ; el conjunto de todos los puntos en el espacio situados a una distancia del centro , no mayor que uno dado. Esta distancia se llama el radio de la bola . Una bola se forma girando un semicírculo alrededor de su diámetro fijo . Este diámetro se denomina eje de la bola , y ambos extremos del diámetro especificado se denominan polos de la bola . La superficie de una bola se llama esfera : una bola cerrada incluye esta esfera , una bola abierta la excluye.

Definiciones relacionadas

Si el plano de corte pasa por el centro de la bola, entonces la sección de la bola se llama círculo máximo . Otras secciones planas de la pelota se llaman círculos pequeños . El área de estas secciones se calcula mediante la fórmula πR².

Fórmulas geométricas básicas

El área de superficie y el volumen de una bola de radio (y diámetro ) están determinados por las fórmulas: $S$ $V$ $r$ $d = 2r$

$S=\ 4\pi r^{2}$

$S=\ \pi d^{2}$

$V={\frac{4}{3}}\pi r^{3}$

Prueba

Tomemos un cuarto de círculo de radio R con centro en el punto . La ecuación de la circunferencia de este círculo es : , de donde . $\izquierda(0;0\derecha)$ $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ $y^{2}=R^{2}-x^{2}$

La función es continua, decreciente, no negativa. Cuando un cuarto de círculo gira alrededor del eje Ox, se forma un hemisferio, por lo tanto: $y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}},x\in (0;R)$

${1 \over 2}V=\pi \int \limits _{0}^{R}(R^{2}-x^{2})dx=\pi \cdot {\Bigl .}\left(R ^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right){\Bigr |}_{0}^{R}=\pi \cdot (R^{3}-{\ fracción {R^{3}}{3}})={\frac{2}{3}}\pi R^{3}$

¿Dónde dice Ch. t. $V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}$

$V={\frac {\pi d^{3}}{6}}$

Prueba

$d=2r, V={4 \sobre 3} \pi r^3 = {4 \sobre 3} \pi \left ( {d \sobre 2} \right )^3 = {4 \sobre 3} \pi \ fracción {d^3} {8} = \frac {\pi d^3} {6}$ H.t.d.

El concepto de bola en un espacio métrico, naturalmente, generaliza el concepto de bola en la geometría euclidiana .

Definiciones

Sea dado un espacio métrico . Después $(X,\rho)$

Una bola (o bola abierta ) con centro en un punto y radio es un conjunto $x_{0}\en X$ $r>0$

B_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<r\}.

Una bola cerrada con centro en y radio es un conjunto $x_{0}$ $r$

D_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})\leqslant r\}.

Notas

Una bola de radio centrada también se llama vecindad de un punto . $r$ $x_{0}$ $r$ $x_{0}$

Propiedades

La bola es un conjunto abierto en la topología generada por la métrica . $\rho$
Una bola cerrada es un conjunto cerrado en la topología generada por la métrica . $\rho$
Por definición de tal topología, las bolas abiertas con centros en cualquier punto son su base . $X$
Obviamente _ Sin embargo, en general, el cierre de una bola abierta puede no coincidir con una bola cerrada: $B_{r}(x_{0})\subconjunto D_{r}(x_{0})$ $\overline {B_{r}(x_{0})}\neq D_{r}(x_{0}).$
- Por ejemplo: sea un
espacio métrico discreto y conste de más de dos puntos. Entonces para cualquiera tenemos: $(X,\rho)$ $X$ $x\en X$

B_{1}(x)=\{x\},\;\overline {B_{1}(x)}=\{x\},\;D_{1}(x)=X.

Volumen

Volumen de una bola n-dimensional de radio R en un espacio euclidiano n-dimensional: [ 1]

V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)))R^{n},

donde Γ es la función gamma de Euler (que es la extensión del factorial al campo de los números reales y complejos ). Usando representaciones particulares de la función gamma para valores enteros y semienteros , se pueden obtener fórmulas para el volumen de una bola de n dimensiones que no requieren una función gamma:

V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!)}}R^{2k}

V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={ \frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}

conocido !! aquí se denota el factorial doble .

Estas fórmulas también se pueden reducir a una general:

V_{n}(R)={\frac {2^{\left[{\frac {n+1}{2}}\right]}\pi ^{\left[{\frac {n} {2}}\derecho]}}{n!!}}R^{n}

Función inversa para expresar la dependencia del radio con el volumen:

{\displaystyle R_{n}(V)={\frac {\Gamma (n/2+1)^{1/n)){\sqrt {\pi ))}V^{1/n))

Esta fórmula también se puede dividir en dos, para espacios con un número de dimensiones par e impar, utilizando factorial y doble factorial en lugar de la función gamma:

{\displaystyle R_{2k}(V)={\frac {(k!V)^{1/2k)){\sqrt {\pi ))))

R_{2k+1}(V)=\left({\frac {(2k+1)!!V}{2^{k+1}\pi ^{k))}\right)^{ 1/(2k+1)}

. Recursividad

La fórmula del volumen también se puede expresar como una función recursiva . Estas fórmulas pueden probarse directamente o derivarse de la fórmula básica anterior. La forma más sencilla de expresar el volumen de una bola n -dimensional es en términos del volumen de una bola dimensional (suponiendo que tengan el mismo radio): $n-2$

V_{n}(R)={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R)

También hay una fórmula para el volumen de una bola de n dimensiones que depende del volumen de una bola de ( n − 1) dimensiones del mismo radio:

V_{n}(R)=R{\sqrt {\pi )){\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{\Gamma ({\frac {n {2}}+1)}}V_{n-1}(R)

Lo mismo sin la función gamma:

{\begin{alineado}V_{2k}(R)&=R\pi {\frac {(2k-1)!!}{2^{k}k!}}V_{2k-1}( R)=R\pi {\frac {(2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2)) V_{2k-1}(R),\\V_{2k+1}(R)&=2R{\frac {2^{k}k!}{(2k+1)!!}}V_{2k} (R)=2R{\frac {(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}{(2k+1)(2k-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}V_ {2k}(R).\end{alineado}}

Espacios de menores dimensiones

Fórmulas de volumen para algunos espacios de menores dimensiones:

Número de mediciones	Volumen de una esfera de radio R	Volumen bola radio V
una	${\ estilo de visualización 2R}$	${\ estilo de visualización V/2}$
2	$\piR^{2}$	${\frac {V^{1/2}}{\sqrt {\pi }}}$
3	${\frac{4\pi}{3}}R^{3}$	${\ estilo de visualización \ izquierda ({\ frac {3V} {4 \ pi}} \ derecha) ^ {1/3}}$
cuatro	${\frac {\pi^{2}}{2}}R^{4}$	${\frac {(2V)^{1/4}}{\sqrt {\pi }}}$
5	${\frac{8\pi^{2}}{15}}R^{5}$	$\left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\right)^{1/5}$
6	${\frac {\pi^{3}}{6}}R^{6}$	${\frac {(6V)^{1/6}}{\sqrt {\pi }}}$
7	${\frac{16\pi^{3}}{105}}R^{7}$	${\ estilo de visualización \ izquierda ({\ frac {105V} {16 \ pi ^ {3}}} \ derecha) ^ {1/7}}$
ocho	${\frac {\pi^{4}}{24}}R^{8}$	${\frac {(24V)^{1/8}}{\sqrt {\pi }}}$
9	${\frac{32\pi^{4}}{945}}R^{9}$	${\ estilo de visualización \ izquierda ({\ frac {945V} {32 \ pi ^ {4}}} \ derecha) ^ {1/9}}$
diez	${\frac {\pi^{5}}{120}}R^{10}$	${\frac {(120V)^{1/10}}{\sqrt {\pi }}}$

Espacios de mayores dimensiones

Como el número de dimensiones tiende a infinito, el volumen de una esfera de radio unidad tiende a cero. Esto se puede deducir de la representación recursiva de la fórmula del volumen.

Ejemplos

Sea un espacio euclidiano con la distancia euclidiana habitual. Después $\mathbb{R}^d$

si (el espacio es una línea recta ), entonces $re=1$

B_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|<r\}=\left(x_{0}-{r} ,x_{0}+{r}\derecho),

D_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|\leq r\}=\left[x_{0}-{r },x_{0}+{r}\derecha].

son segmentos abiertos y cerrados , respectivamente.

si (espacio - plano ), entonces $re=2$ $B_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in {\mathbb {R}}^{2}\mid {\sqrt {(x-x_ {0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<r\derecha\},$ $D_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in {\mathbb {R}}^{2}\mid {\sqrt {(x-x_ {0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\leq r\right\}$

son discos abiertos y cerrados , respectivamente.

si , entonces $re=3$ $B_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb {R}}^{3}\mid { \sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}<r\right\},$ $D_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb {R}}^{3}\mid { \sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}\leq r\right\}$

son una esfera estereométrica abierta y una cerrada , respectivamente.

En otras métricas, la pelota puede tener una forma geométrica diferente. Por ejemplo, definamos una métrica en el espacio euclidiano de la siguiente manera: $\mathbb{R}^d$ $\rho (x,y)=\sum \limits _{{i=1}}^{d}\|x_{i}-y_{i}\|,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{d})^{{\top }},y=(y_{1},\ldots ,y_{d})^{{\top }}\in {\mathbb {R}}^{d} .$

Después

si , entonces es un cuadrado abierto con centro en un punto y lados de longitud ubicados en diagonal a los ejes de coordenadas. $re=2$ $U_{r}(x_{0})$ $x_{0}$ ${\ sqrt {2}}$
si , entonces es un octaedro tridimensional abierto . $re=3$ $U_{r}(x_{0})$

Véase también

Notas

↑ Ecuación 5.19.4, Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST. http://dlmf.nist.gov/ , Versión 1.0.6 del 06-05-2013.

Literatura

Pelota, cuerpo geométrico // Diccionario Enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.

Enlaces a calculadoras en línea

Cálculo del volumen y área de una esfera (enlace inaccesible) . Consultado el 12 de marzo de 2012. Archivado desde el original el 8 de agosto de 2011. (indefinido)
Calculadoras en línea (enlace no disponible) . Consultado el 2 de julio de 2019. Archivado desde el original el 9 de enero de 2019. (indefinido)
Estudios Matemáticos (enlace inaccesible) . Consultado el 20 de octubre de 2011. Archivado desde el original el 18 de octubre de 2011. (indefinido) Dibujos animados de volumen de esfera