Lema de Singa

El lema de Sing es una afirmación clave sobre la estabilidad de geodésicas cerradas en variedades riemannianas con curvatura seccional positiva.

El lema es una consecuencia directa de la fórmula para la segunda variación de las longitudes de una familia de curvas de un parámetro. Fue utilizada por John Sing . [una]

Redacción

Sea una geodésica en una variedad de Riemann con curvatura de sección positiva y un campo paralelo de vectores tangentes en . Luego, una variación en la dirección acorta su longitud. $\gamma \colon [0;1]\to M$ $METRO$ $V$ $\gama$ $\gama$ $V$

Más precisamente, si

\gamma _{\tau}(t)=\exp _{{\gamma (t)))(\tau \cdot V(t))

y denota la longitud de la curva entonces y . $L(\tau)$ $\gamma _{\tau}$ $L'(0)=0$ $L''(0)<0$

Consecuencias

Si una geodésica cerrada que admite un campo vectorial paralelo no es estable, es decir, su longitud puede reducirse por una deformación arbitrariamente pequeña. En particular,
- Las variedades de Riemann orientadas de dimensión uniforme con curvatura de sección positiva son simplemente conexas .
- Las variedades de Riemann de dimensiones impares con curvatura seccional positiva están orientadas .
El lema de Sing también fue utilizado por Theodor Frankel [2] para demostrar que si y son subvariedades geodésicas cerradas en una variedad riemanniana con curvatura seccional positiva y luego y se intersecan. $V$ $W$ $METRO$ ${\ estilo de visualización \ dim V+ \ dim W \ geq \ dim M}$ $V$ $W$

Notas

↑ Synge, John Lighton (1936), Sobre la conectividad de los espacios de curvatura positiva , Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series) volumen 7: 316–320 , DOI 10.1093/qmath/os-7.1.316
↑ Frankel, Teodoro. Colectores con curvatura positiva (inglés) // Pacific J. Math .. - 1961. - Vol. 11 _ — pág. 165–174 .