Shura-Bura Lema

El lema de Shura-Bura es el nombre adoptado en la escuela científica de P. S. Aleksandrov para el siguiente enunciado elemental de topología general , relativo a las propiedades de los espacios compactos :

Sea un subconjunto abierto de un espacio compacto , y sea una familia de subconjuntos cerrados (y por lo tanto compactos) de este espacio. Si , entonces existe un conjunto finito tal que .

tu

X

\{F_{s}\}_{s\en S}

\bigcap _{{s\in S}}F_{s}\subconjunto U

\{s_{1},s_{2},\puntos s_{n}\}\subconjunto S

\bigcap _{{i=1}}^{n}F_{{s_{i}}}\subconjunto U

Una formulación más concisa del lema de Schura-Bura (en términos de familias de conjuntos no indexados):

Sea un subconjunto abierto de un espacio compacto , y sea una familia de subconjuntos cerrados (y por lo tanto compactos) de este espacio tal que . Entonces para alguna subfamilia finita .

tu

X

{\ matemáticas {F}}

\bigcap {\mathcal F}\subconjunto U

\bigcap {\mathcal F}_{0}\subconjunto U

{\mathcal F}_{0}\subset {\mathcal F}

Para probar el lema de Shura-Bura, basta señalar que la familia formada por el conjunto indicado en su formulación y los complementos de los elementos de la familia es una cubierta abierta del espacio y extraer una subcubierta finita de esta cubierta. $tu$ ${\ matemáticas {F}}$ $X$

La propiedad indicada en el lema de Schura-Bura en realidad caracteriza espacios compactos. [una]

Generalizaciones del lema de Shura-Bura

El lema de Schura-Bura se puede generalizar a espacios arbitrarios (no necesariamente compactos) requiriendo que la familia de conjuntos cerrados considerada en él contenga al menos un compacto [2] :

Sea un subconjunto abierto del espacio , y sea alguna familia de subconjuntos cerrados de este espacio, al menos uno de los cuales es compacto, y . Entonces para alguna subfamilia finita .

tu

X

{\ matemáticas {F}}

\bigcap {\mathcal F}\subconjunto U

\bigcap {\mathcal F}_{0}\subconjunto U

{\mathcal F}_{0}\subset {\mathcal F}

Bajo el supuesto de Hausdorffness , el lema de Schura-Bura admite el siguiente refuerzo esencial [3] :

Sea un subconjunto abierto del espacio de Hausdorff , y sea alguna familia de subconjuntos compactos de este espacio tal que . Entonces existe una familia finita y una familia finita de conjuntos abiertos con las siguientes propiedades: a) para ; b) .

tu

X

{\ matemáticas {F}}

\bigcap {\mathcal F}\subconjunto U

\{\,F_{1},F_{2},\dots ,F_{n}\,\}\subset {\mathcal F}

{\displaystyle \{\,V_{1},V_{2},\dots,V_{n}\,\))

X

F_{i}\subconjunto V_{i}

{\ estilo de visualización i = 1,2, \ puntos, n}

\bigcap _{{i=1}}^{n}V_{i}\subconjunto U

El Lema de Schura-Bura y los Componentes Conectados de un Compacto

El lema Shura-Bura se fijó como enunciado separado con este nombre en las monografías de P. S. Aleksandrov [4] [5] , donde se utilizó como auxiliar para demostrar el siguiente teorema fundamental debido a M. R. Shure-Bura (1941) [ 6 ] :

La componente conexa de cada punto de un espacio compacto de Hausdorff coincide con su cuasi-componente [7] .

Algunos autores llaman a este último teorema también el "lema de Shura-Bura" [8] . Para el caso de conjuntos métricos compactos , fue previamente probado por F. Hausdorff (1914) [9] .

Notas

↑ De hecho, permita que algún espacio topológico tenga la propiedad indicada en la formulación del lema de Schura-Bura. Probemos que este espacio es compacto. Sea una cubierta abierta arbitraria de la misma. Suponiendo que la familia no está vacía , elegimos una arbitraria . Dejar ; entonces (porque es una tapa). Por lo tanto, existe un finito , para el cual . Es fácil ver que la familia de conjuntos abiertos, que consta de elementos de la familia y complementos de ellos , es una subfamilia finita de la familia que cubre el espacio . $X$ ${\ matemática V}$ ${\ matemática V}$ $U\in {\mathcal {V}}$
${\mathcal F}=\{\,X\setminus V:V\in {\mathcal V},\ V\neq U\,\}$ $\bigcap {\mathcal F}\subconjunto U$ ${\ matemática V}$ ${\mathcal F}_{0}\subset {\mathcal F}$ $\bigcap {\mathcal F}_{0}\subconjunto U$ $tu$ ${\ matemática F}_{0}$ ${\ matemática V}$ $X$
↑ Véase, por ejemplo, R. Engelking. Topología general / Per. del inglés.- M . : Mir, 1986. , Corolario 3.1.5 (S. 197).
↑ Véase, por ejemplo, A. Arhangelskii, M. Tkachenko. Grupos topológicos y estructuras relacionadas . - Atlantis Press, 2008. - ISBN 9078677066 . , Lema 2.4.6. En este libro, se nota que esta declaración pertenece al folclore topológico.
↑ P. S. Alexandrov, B. A. Pasynkov. Introducción a la teoría de las dimensiones. - M. : Nauka, 1973. - S. 171.
↑ P. S. Alexandrov. Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. - M. : Nauka, 1977. - S. 285.
↑ M. R. Shura-Bura. Sobre la teoría de los espacios compactos. - Matemáticas. Sb., 1941, 9(51) :2, 385-388, Teorema I. En este trabajo original, el "lema de Shura-Bura" no se formula como una afirmación separada, sino que se prueba implícitamente.
↑ La componente (componente conexa) de un punto de un espacio topológico es el subespacio conexo más grande de este espacio que contiene el punto dado; un cuasi -componente es la intersección de todos los subconjuntos abiertos-cerrados de este espacio que contiene un punto dado. La componente de cada punto del espacio topológico está contenida en su cuasi-componente. Lo contrario no es cierto en general (incluso en el caso de subespacios localmente compactos del plano euclidiano ordinario; véase Engelking (loc. cit.), Ejemplo 6.1.24), pero en compactos (es decir, espacios compactos de Hausdorff), el las componentes de los puntos coinciden con las cuasicomponentes, como dice dicho teorema. Véase también su prueba en los libros citados de P. S. Aleksandrov y R. Engelking.
↑ Véase, por ejemplo, M. V. Keldysh . Comentarios sobre la actividad científica de MR Shura-Bur (1968) Copia de archivo del 20 de julio de 2009 en Wayback Machine ; D. K. Musaev . — Sobre la caracterización de aplicaciones completas mediante morfismos en cero-dimensionales. - Matemáticas. tr., 7 :2 (2004), 72-97.
↑ F. Hausdorff. Grundzuge der Mengenlehre. — Leipzig: von Veit, 1914.