Lema en el sexto círculo

El lema del sexto círculo [1] afirma lo siguiente.

En un cuadrilátero inscrito en el (primer) círculo , a través de cuatro pares de vértices y , y , y , y dibuja un círculo (cuatro círculos más) de tal manera que los puntos de su intersección por pares estén dentro del primer círculo. Luego acuéstese en un (sexto) círculo $A B C D$ $A$ $B$ $B$ $C$ $C$ $D$ $D$ $A$ ${\ estilo de visualización A_ {1}, B_ {1}, C_ {1}, D_ {1}}$ ${\ estilo de visualización A_ {1}, B_ {1}, C_ {1}, D_ {1}}$ .

La figura a la derecha debajo corresponderá a la última declaración del teorema, si se denota por . $Z=A_{1},Y=B_{1},X=C_{1},W=D_{1}$

Nota

El teorema anterior también se llama teorema de los seis círculos de Miquel sin referencia a un cuadrilátero específico (ver la figura a continuación). Sean 4 puntos, "A", "B", "C" y "D", y 4 los círculos se intersecan en pares en estos puntos , así como en otros 4 puntos W , X , Y y Z. Luego, los últimos 4 puntos se encuentran en un círculo común. Este teorema se conoce como el "teorema de los seis círculos"' [2] (ver figura).

Consecuencias

$A B C D$ es un cuadrilátero inscrito. es la base de la perpendicular bajada del vértice a la diagonal ; los puntos se definen de manera similar . Entonces los puntos se encuentran en el mismo círculo. La prueba se sigue del lema del sexto círculo. $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\ estilo de visualización B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\ estilo de visualización A_ {1}, B_ {1}, C_ {1}, D_ {1}}$
$A B C D$ es un cuadrilátero inscrito. es el centro de la circunferencia inscrita del triángulo BCD; los puntos se definen de manera similar . Entonces es un rectángulo. La prueba se sigue del lema del sexto círculo. Este corolario a veces se conoce como el teorema japonés (ver fig.). $A_{1}$ ${\ estilo de visualización B_{1},C_{1},D_{1))$ $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$

Sea la circunferencia inscrita en un triángulo arbitrario tangente al lado en el punto , y la excircunferencia tangente al lado en el punto . Entonces los puntos se encuentran en el mismo círculo. La prueba se sigue del lema del sexto círculo. $A B C$ $C.A.$ $X$ $C.A.$ $Y$ ${\ estilo de visualización A_ {1}, Y, C_ {1}, X}$
En un triángulo , las bases de las perpendiculares caen sobre la bisectriz del ángulo desde los vértices y, respectivamente; - altura, - la mitad del lado . Luego los puntos y se encuentran en el mismo círculo. Además, el centro del círculo que pasa por los puntos se encuentra en el círculo de nueve puntos del triángulo ABC. La prueba se sigue del lema del sexto círculo. $A B C$ ${\ estilo de visualización A_ {1}, C_ {1}}$ $B$ $A$ $C$ $BB_{1}$ $D_{1}$ $C.A.$ ${\ estilo de visualización A_ {1}, B_ {1}, C_ {1}, D_ {1}}$ $D_{1}$ ${\ estilo de visualización A_ {1}, B_ {1}, C_ {1}, D_ {1}}$

Historia

Este teorema a veces se llama el teorema de los cuatro círculos y se atribuye a Jakob Steiner, aunque la única prueba publicada conocida fue dada por Miquel [3] .

Wells se refiere a este teorema como "teorema de Miquel" [4]

Posibles variaciones y generalizaciones

Curiosamente, es imposible una mayor generalización de este teorema al Lema en el séptimo círculo . Así lo indica el siguiente contraejemplo en forma de figura a la derecha, tomado de la sección del punto de Miquel (ver el párrafo " Teorema de Miquel para un pentágono (para una estrella de cinco puntas) "). Esto se indica mediante la siguiente declaración obvia:

“Si 5 círculos (son negros en la figura) tienen 5 puntos de su intersección por pares M, N, P, R, Q , que se encuentran en un círculo (azul) (6 círculos en total), entonces a partir de esto, en general caso, de ninguna manera se deduce que otros 5 (no mencionados anteriormente) puntos de su intersección por pares A, B, C, D, E también estarán en el mismo círculo (en el 7º círculo))". En la figura, esto es bastante obvio, ya que el pentágono ABCDE claramente no está inscrito en el círculo (séptimo en una fila).

Véase también

Notas

↑ En torno al problema de Arquímedes. Lema 4 Archivado el 29 de abril de 2016 en Wayback Machine , fig. 10, pág. 5
↑ Una profesora de secundaria en la campiña francesa (Nantua) según Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, p. 94
↑ Una profesora de secundaria en la campiña francesa (Nantua) según Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, p. 352
↑ Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, Nueva York: Penguin Books. páginas. 151–152

Literatura

Coxeter, HSM & Greitzer, SL (1967), Geometry Revisited , vol. 19, Nueva Biblioteca Matemática , Washington, DC : Asociación Matemática de América , ISBN 978-0-88385-619-2
Forder, HG (1960), Geometría , Londres: Hutchinson
Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometría por su historia , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
Pedoe, Dan (1988), Geometría / Un curso completo , Dover, ISBN 0-486-65812-0
Smart, James R. (1997), Geometrías modernas (5.ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , Nueva York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6