Círculo de nueve puntos

El círculo de nueve puntos es el círculo que pasa por los puntos medios de los tres lados del triángulo .

También se le llama círculo de Euler , círculo de Feuerbach , círculo de seis puntos , círculo de Terkem , círculo de n puntos , círculo semicircunscrito .

Teorema de definición

El círculo de nueve puntos obtuvo su nombre gracias al siguiente teorema:

Las bases de las tres alturas de un triángulo arbitrario, los puntos medios de sus tres lados y los puntos medios de los tres segmentos que conectan sus vértices con el ortocentro se encuentran todos en el mismo círculo.

En otras palabras, el círculo de nueve puntos es el círculo circunscrito para los siguientes tres triángulos:

ortotriángulo ,
triangulo medio ,
El triángulo de Euler (o triángulo de Feuerbach , triángulo de Euler-Feuerbach ) es un triángulo cuyos vértices son los puntos medios de tres segmentos que conectan el ortocentro y los vértices.

Prueba del teorema

En el artículo The Trident Lemma, se da una prueba de la existencia del círculo de Euler usando este lema.

Propiedades

El centro del círculo de nueve puntos se encuentra en la línea de Euler , exactamente en el medio del segmento entre el ortocentro y el centro del círculo circunscrito .
De los nueve puntos del círculo de Euler, tres son los puntos medios de los segmentos de línea que conectan los vértices con el ortocentro (los vértices del triángulo de Euler-Feuerbach ). Estos tres puntos son los reflejos de los puntos medios de los lados del triángulo sobre el centro del círculo de nueve puntos .
Así, el centro de los nueve puntos sirve como centro de simetría , traduciendo el triángulo medio en el triángulo de Euler-Feuerbach (y viceversa) [1]
El diámetro de un círculo de nueve puntos es igual al radio del círculo circunscrito .
La circunferencia circunscrita es la imagen de la circunferencia de nueve puntos con respecto a la homotecia con centro en el ortocentro y coeficiente 2.

La última propiedad de homoteticidad (similitud) significa que un círculo de nueve puntos biseca cualquier segmento que conecta el ortocentro con un punto arbitrario que se encuentra en el círculo circunscrito .
El teorema de Feuerbach . El círculo de nueve puntos de un triángulo arbitrario toca el incírculo y los tres excírculos de este triángulo. [2]
El teorema de Mavlo . [3] : un triángulo en su circunferencia de nueve puntas corta externamente tres arcos con sus tres lados de tal manera que la longitud del mayor de ellos es igual a la suma de las longitudes de los dos arcos restantes. Por ejemplo, en la figura anterior, el teorema de Mavlo da la igualdad: arco IF = arco HE + arco GD.
En forma simétrica, el teorema de Mavlo se puede escribir como: $\smallsmile IF+\smallsmile HE+\smallsmile GD=2\max\{\smallsmile IF,\smallsmile HE,\smallsmile GD\}.$

Esto equivale a que el mayor de los tres arcos sea igual a la suma de los otros dos.

La última propiedad es análoga a las propiedades de las distancias y de los vértices de un triángulo adicional (un triángulo con vértices en los puntos medios de los lados de este triángulo). al punto de Feuerbach , no para arcos. Una relación similar también ocurre en el teorema de Pompeyo . $X$ $y$ $z$
el teorema de hamilton Tres segmentos de línea que conectan el ortocentro con los vértices de un triángulo de ángulo agudo lo dividen en tres triángulos que tienen el mismo círculo de Euler (círculo de nueve puntos) que el triángulo de ángulo agudo original. Se considera punto de Feuerbach el punto marcado en negrita en el círculo más cercano al vértice A.

Hay exactamente tres puntos en el círculo circunscrito del triángulo tales que su línea de Simson es tangente al círculo de Euler del triángulo , y estos puntos forman un triángulo regular . Los lados de este triángulo son paralelos a los lados del triángulo de Morley . $A B C$ $A B C$
Si la hipérbola descrita cerca del triángulo pasa por el punto de intersección de las alturas, entonces es isósceles (es decir, sus asíntotas son perpendiculares) [4] . El punto de intersección de las asíntotas de una hipérbola equilátera se encuentra en el círculo de nueve puntos [4] . Esta hipérbola se llama hipérbola de Kiepert , y su centro se designa en la Enciclopedia de los Centros de Triángulos como X(115).
Si la línea ℓ del ortópolo pasa por el centro del círculo circunscrito al triángulo , entonces el ortópolo mismo se encuentra en el círculo de Euler de este triángulo. [5]
Si la línea ℓ del ortopolo P pasa por el ortocentro Q del triángulo, entonces el punto ubicado en la continuación del segmento PQ que conecta el ortopolo con el ortocentro, en el otro lado a una distancia igual a PQ , se encuentra en el Euler círculo (en un círculo de 9 puntos) de este triángulo. [6]

Si ABCD es un cuadrilátero inscrito en alguna circunferencia. EFG es el triángulo diagonal del cuadrilátero ABCD . Entonces el punto de intersección T de las bimedianas del cuadrilátero ABCD se encuentra en la circunferencia de nueve puntos del triángulo EFG .

Se mostró en [7] que el punto de intersección de las bimedianas de un cuadrilátero inscrito en alguna circunferencia pertenece al círculo de Euler del triángulo con un vértice en el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero y con otros dos vértices en la intersección puntos de las prolongaciones de sus pares de lados opuestos.

Para un círculo de nueve puntos, que, entre otros, también se denomina "círculo de Terkem", Terkem demostró el teorema de Terkem . [8] Ella afirma que si un círculo de nueve puntos corta los lados de un triángulo o sus extensiones en 3 pares de puntos (en 3 bases respectivamente de alturas y medianas) que son las bases de 3 pares de cevianos, entonces si 3 cevianos para 3 de estas bases se intersecan en 1 punto (por ejemplo, 3 medianas se intersecan en 1 punto), entonces 3 cevianas para otras 3 bases también se intersecan en 1 punto (es decir, 3 alturas también deben intersecar en 1 punto).

Casos de disposición mutua del círculo de nueve puntos y el círculo circunscrito

En un triángulo, en relación con la circunferencia circunscrita , la circunferencia de nueve puntos (o circunferencia de Euler ) se puede ubicar de la siguiente manera:

Toca la circunferencia circunscrita en el único caso si el triángulo es rectángulo . En este caso, la tangencia de dos círculos va en el vértice del ángulo recto del triángulo.
Se encuentra completamente dentro del círculo circunscrito si el triángulo es de ángulo agudo .
Interseca al círculo circunscrito en dos puntos diferentes si el triángulo es obtuso .

Historia

Euler en 1765 demostró que las bases de las alturas y los puntos medios de los lados se encuentran en el mismo círculo (de ahí el nombre de "círculo de seis puntos"). La primera prueba completa del resultado general aparentemente fue publicada por Karl Feuerbach en 1822 (junto con el teorema que lleva su nombre), pero hay indicios de que se conocía antes [2] .

Variaciones y generalizaciones

Cuatro círculos de nueve puntas de triángulos dentro de un cuadrilátero . Hay un teorema bien conocido: en un cuadrilátero convexo arbitrario , los círculos de nueve puntos de triángulos en los que dos diagonales lo dividen se cruzan en un punto $A B C D$ ${\ estilo de visualización ABC, BCD, CDA, DAB}$ , en el punto de Poncelet . [9]
Hay un teorema bien conocido: si las diagonales son perpendiculares en un cuadrilátero convexo, entonces ocho puntos se encuentran en un círculo ( el círculo de ocho puntos del cuadrilátero ): los puntos medios de los lados y las proyecciones de los puntos medios de los lados en lados opuestos [10] .

El círculo de nueve puntos es un caso especial de la cónica de nueve puntos . Si el punto P es el ortocentro del triángulo ABC , entonces la cónica de nueve puntos del cuadrilátero completo PABC se convierte en el círculo de nueve puntos .

16 círculos de Feuerbach tocados por un círculo de 9 puntos. La figura de la derecha muestra en verde los 16 círculos de Feuerbach conocidos que tocan el círculo de 9 puntos que se muestra en rojo (el triángulo en sí se muestra en negro)

Ver también (artículos que mencionan el círculo de nueve puntos )

Notas

↑ Dekov. Centro de nueve puntos// Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry.— 2007.// http://eg-journal.comli.com/2007/JCGEG200721.pdf (enlace no disponible)
↑ 1 2 Tony Crilly. Ideas matemáticas que realmente necesita saber . — Prensa Fantasma. — 209 pág. — ISBN 9785864716700 . Archivado el 18 de junio de 2016 en Wayback Machine .
↑ D. P., Mavlo (2004), Hermosas propiedades de cuerpos notables, Matemáticas en las escuelas (Ucrania) (n.º 3): 265–269
↑ 1 2 Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., complementada.. - M. : MTSNMO , 2011. - 148 p. - ISBN 978-5-94057-732-4 .
↑ The Orthopole (21 de enero de 2017). Consultado el 22 de junio de 2020. Archivado desde el original el 22 de junio de 2020. (indefinido)
↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. (Párrafo: G. El Ortopolo. Item. 699. Teorema. Fig. 156. P.290-291). Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.
↑ Fraivert, 2019 .
↑ Dmitri Efremov . Nueva geometría triangular Archivado el 25 de febrero de 2020 en Wayback Machine . - Odessa, 1902. - S. 16.
↑ Matemáticas en tareas. Colección de materiales de las escuelas de campo del equipo de Moscú para la Olimpiada Matemática de toda Rusia / Editado por A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov y A. V. Shapovalov. C. 118, tarea 9
↑ Matemáticas en tareas. Colección de materiales de las escuelas de campo del equipo de Moscú para la Olimpiada Matemática de toda Rusia / Editado por A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov y A. V. Shapovalov. C. 118, tarea 11

Literatura

Sharygin I ., Yagubyants A. Círculo de nueve puntos y línea de Euler // Kvant. - 1981. - Nº 8 . - S. 34-37 . (Ruso)
Dm. Efremov. Nueva geometría triangular 1902
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nuevos encuentros con la geometría. -M.:Nauka, 1978. - T. 14.- (Biblioteca del Círculo Matemático).
Ponarin Ya. P. Geometría elemental. En 2 tomos - M. : MTSNMO , 2004. - S. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0 .
Feuerbach, Karl (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren German.
Mavlo D.P. Hermosas propiedades de cuerpos notables//Matemáticas en la escuela. No. 3, 2004. pág. 265-269.
Dekov. Centro de nueve puntos // Revista de geometría euclidiana generada por computadora. — 2007.
Fraivert David . Nuevos puntos que pertenecen al círculo de nueve puntos // The Mathematical Gazette. - 2019. - T. 103 , N º 557 . - S. 222-232 .

Enlaces

Plano viviente