Teorema del círculo inscrito

El teorema del círculo inscrito tiene su origen en el sangaku japonés y se refiere a la siguiente construcción: se dibujan una serie de rayos desde un punto hasta una línea dada de modo que los círculos inscritos en los triángulos resultantes formados por los rayos adyacentes y la línea sean iguales. En la ilustración, los mismos círculos azules definen el ángulo entre los rayos, como se describe arriba.

Enunciado del teorema

El teorema establece que con la construcción descrita anteriormente, las circunferencias inscritas en triángulos formados por rayos que pasan por uno (es decir, obtenidos por la unión de dos triángulos adyacentes), que pasan por dos, etc., también son iguales. El caso de los triángulos vecinos se muestra en la figura con círculos verdes: todos tienen las mismas dimensiones.

Del hecho de que el enunciado del teorema no depende del ángulo entre el rayo inicial y la línea recta dada, se puede concluir que el teorema se trata más de cálculo que de geometría, y debe estar relacionado con una función de escala continua que determina el distancia entre los rayos. De hecho, esta función es el seno hiperbólico .

Lema

El teorema es una consecuencia directa del siguiente lema .

Suponga que el rayo n tiene un ángulo con la normal de la línea base. Si se parametriza de acuerdo con la igualdad , entonces los valores , donde y son constantes reales , definen una secuencia de rayos que satisfacen las condiciones del círculo (ver arriba), y además, cualquier secuencia de rayos que satisface estas condiciones puede obtenerse mediante un elección apropiada de los parámetros y . $\gamma_n$ $\gamma_n$ ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,\theta _{n))$ ${\ estilo de visualización \ theta _ {n} = a + nb}$ $a$ $b$ $a$ $b$

Prueba del lema

En la figura, las líneas PS y PT son rayos adyacentes que tienen ángulos y con la línea PR perpendicular a la línea base RT. $\gamma_n$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {n + 1}}$

Dibuje una línea QY paralela a la línea base a través del centro O del círculo inscrito en el triángulo PST. Este círculo es tangente a los rayos en los puntos W y Z. El segmento PQ tiene longitud y el segmento QR tiene longitud , que es igual al radio del círculo inscrito. $\triángulo$ $hora$ $r$

Entonces OWX es similar a PQX, OZY es similar a PQY, y de XY = XO + OY obtenemos $\triángulo$ $\triángulo$ $\triángulo$ $\triángulo$

(hr)(\mathrm {tg} \,\gamma _{n+1}-\mathrm {tg} \,\gamma _{n})=r(\sec \gamma _{n}+\ segundo\gamma _{n+1}).

Esta razón sobre el conjunto de los ángulos expresa la condición de igualdad de las circunferencias inscritas. ${\ estilo de visualización \ {\ gamma _ {m} \}}$

Para probar el lema, establecemos . Esta expresión se puede convertir a . $\mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,(a+nb)$ $\sec \gamma _{n}=\mathrm {ch} \,(a+nb)$

Usando la igualdad , aplicamos reglas adicionales para y y comprobamos que la relación de igualdad de los círculos se satisface con la expresión ${\ estilo de visualización a+(n+1)b=(a+nb)+b}$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {sh} \,}$ $\mathrm {ch} \,$

{\frac {r}{hr}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {b}{2}}.

Hemos obtenido una expresión para el parámetro en términos de las cantidades geométricas y . Además, al definir , obtenemos una expresión para los radios de los círculos inscritos formados al elegir cada N -ésimo rayo como los lados del triángulo: $b$ $h$ $r$ $b$ $r_{N}$

{\frac {r_{N}}{h-r_{N}}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {Nb}{2}}.

Véase también

Literatura

Tabov J. Una nota sobre el teorema de los cinco círculos // Revista de Matemáticas. - 1989. - T. 63. - Nº 2. - S. 92-94.