Ecuación de Cauchy-Euler

En matemáticas ( ecuaciones diferenciales ), la ecuación de Cauchy  – Euler (Euler-Cauchy) es un caso especial de ecuación diferencial lineal , reducible a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes , que tiene un algoritmo de solución simple.

Ecuación de orden n

Forma general de la ecuación:

.

Su caso especial:

.

Sustitución

La sustitución de la forma , es decir, lleva la ecuación a la forma de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. De hecho, notamos que , y . De acuerdo a esto:





dónde



de este modo



Calcular la siguiente derivada de una función compleja

,

eso lleva a

.

y más allá





que de igual manera conduce a



Esta cadena de cálculos puede continuar hasta cualquier orden n

Ejemplo

Dada una ecuación no homogénea

.

Habiendo definido la sustitución , llegamos a la ecuación

.

Después de la reducción, tenemos una ecuación lineal no homogénea con coeficientes constantes

,

cuya solución tiene la forma



o en términos



Ecuación de segundo orden

Forma general de la ecuación:

.

Su caso especial:

.

Por sustitución , es decir, o, respectivamente,

eso es

se reduce a la forma de una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes.

.

o, respectivamente,

.

Ejemplo

Dada una ecuación no homogénea

.

Habiendo definido la sustitución ( ), llegamos a la ecuación

.

Después de la reducción, tenemos una ecuación lineal no homogénea con coeficientes constantes

,

cuya solución tiene la forma



o en términos



Otra forma de resolver una ecuación homogénea de segundo orden

Considere una ecuación homogénea de segundo orden de la forma:

.

Sus soluciones son funciones de la forma: , donde  son las raíces de la ecuación característica





,

lo cual coincide con la ecuación característica de una ecuación homogénea con coeficientes constantes obtenida a partir de la ecuación original por el cambio de variable descrito anteriormente. Si estas raíces son complejas, entonces necesitas usar la fórmula de Euler y tomar las partes real e imaginaria de la solución. Si las raíces coinciden, entonces las soluciones linealmente independientes serán y

Ejemplo

Dada una ecuación homogénea

.

cuya ecuación característica tiene la forma

,

con soluciones _ Entonces la solución general de la ecuación homogénea