En matemáticas ( ecuaciones diferenciales ), la ecuación de Cauchy – Euler (Euler-Cauchy) es un caso especial de ecuación diferencial lineal , reducible a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes , que tiene un algoritmo de solución simple.
Forma general de la ecuación:
Su caso especial:
La sustitución de la forma
, es decir,
lleva la ecuación a la forma de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.
De hecho, notamos que
,
y
.
De acuerdo a esto:
dónde
de este modo
Calcular la siguiente
derivada de una función compleja
eso lleva a
y más allá
que de igual manera conduce a
Esta cadena de cálculos puede continuar hasta cualquier orden n
Dada una ecuación no homogénea
Habiendo definido la sustitución , llegamos a la ecuación
Después de la reducción, tenemos una ecuación lineal no homogénea con coeficientes constantes
cuya solución tiene la forma
o en términos
Forma general de la ecuación:
Su caso especial:
Por sustitución
, es decir,
o, respectivamente,
se reduce a la forma de una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes.
o, respectivamente,
Dada una ecuación no homogénea
Habiendo definido la sustitución ( ), llegamos a la ecuación
Después de la reducción, tenemos una ecuación lineal no homogénea con coeficientes constantes
cuya solución tiene la forma
o en términos
Considere una ecuación homogénea de segundo orden de la forma:
Sus soluciones son funciones de la forma: ,
donde son las raíces de la ecuación característica
lo cual coincide con la ecuación característica de una ecuación homogénea con coeficientes constantes obtenida a partir de la ecuación original por el cambio de variable descrito anteriormente. Si estas raíces son complejas, entonces necesitas usar la fórmula de Euler y tomar las partes real e imaginaria de la solución. Si las raíces coinciden, entonces las soluciones linealmente independientes serán y
Dada una ecuación homogénea
cuya ecuación característica tiene la forma
con soluciones _
Entonces la solución general de la ecuación homogénea