Desigualdad lineal

Una desigualdad lineal es una desigualdad que involucra funciones lineales . Una desigualdad lineal contiene uno de los símbolos de desigualdad [1]

< - menos
> - más
$\leqslant$ - menor o igual
$\geqslant$ - mayor que o igual
$\neq$ - no es igual

y también (formalmente)

= - igual

Una desigualdad lineal se ve exactamente como una ecuación lineal , pero en lugar de un signo igual, se pone un signo de desigualdad.

Desigualdades lineales de números reales

Desigualdades lineales bidimensionales

Las desigualdades lineales bidimensionales son expresiones de la forma:

hacha+por<c

hacha+por\geqslant c,

donde las desigualdades pueden o no ser estrictas. El conjunto de soluciones a tal desigualdad se puede representar gráficamente como un semiplano (todos los puntos en "un lado" de una línea fija) del plano euclidiano [2] . La recta que define el semiplano ( ax + by = c ) no se incluye en la solución si la desigualdad es estricta. Un procedimiento simple para determinar cuál de los semiplanos es la solución es calcular el valor de la función ax + by en un punto ( x 0 , y 0 ) que no está en una recta y comprobar si este punto satisface la desigualdad .

Por ejemplo [3] , para dibujar una solución x + 3 y < 9, primero dibuja una línea con la ecuación x + 3 y = 9 (línea discontinua) para mostrar que la línea no pertenece al área de la solución, ya que la desigualdad es estricto Luego elegimos un punto conveniente que no esté en la línea, como (0,0). Como 0 + 3(0) = 0 < 9, este punto pertenece al conjunto de soluciones de la desigualdad, y el semiplano que contiene este punto (el semiplano “debajo” de la línea) es el conjunto de soluciones de la desigualdad. desigualdad lineal.

Desigualdades lineales en espacios de dimensiones superiores

En el espacio R n , las desigualdades lineales son expresiones que se pueden escribir como

{\ estilo de visualización f ({\ bar {x))) <b}

f({\bar {x)))\leqslant b,

donde f es una forma lineal , y b es un valor real constante. ${\bar {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$

Más específicamente, esto se puede escribir como

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leqslant b.

Aquí se llaman incógnitas, pero se llaman coeficientes. ${\ estilo de visualización x_{1},x_{2},...,x_{n))$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n))$

Alternativamente, lo mismo se puede escribir como

{\ estilo de visualización g (x) <0 \,}

g(x)\leqslant 0,

donde g es una función afín [4]

Eso es

a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<0

a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leqslant 0.

Tenga en cuenta que cualquier desigualdad que contenga los signos "mayor que" o "mayor que o igual a" se puede reescribir en una desigualdad con los signos "menor que" o "menor que o igual a", por lo que no es necesario definir desigualdades lineales con estos signos.

Sistemas de desigualdades lineales

Un sistema de desigualdades lineales es un conjunto de desigualdades con las mismas variables:

{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n }&&\;\leqslant \;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&a_{2n}x_ {n}&&\;\leqslant \;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&\vdots \;\;\;&&&\vdots \;\;\;&&&&\;\vdots \\a_ {m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;\leqslant \;&&b_{m}\ \\end{alineado en}}

Estas son variables, son coeficientes del sistema y son términos constantes. ${\ estilo de visualización x_{1},\ x_{2},...,x_{n))$ ${\displaystyle a_{11},\ a_{12},...,\a_{mn))$ ${\displaystyle b_{1},\ b_{2},...,b_{m))$

Brevemente, esto se puede escribir como una desigualdad matricial

Axe\leqslant b,

donde A es una matriz de m × n , x es un vector de columna de n × 1 de variables y b es un vector de columna de m × 1 de constantes.

En los sistemas descritos anteriormente, se pueden usar desigualdades tanto estrictas como no estrictas.

No todos los sistemas de desigualdades lineales tienen solución.

Aplicaciones

Poliedros

El conjunto de soluciones de una desigualdad real forma un semiespacio del espacio real n -dimensional, uno de los dos semiespacios definidos por la ecuación lineal correspondiente.

El conjunto de soluciones del sistema de desigualdades lineales corresponde a la intersección de semiespacios definidos por desigualdades individuales. Es un conjunto convexo porque los medios espacios son conjuntos convexos, y la intersección de un conjunto de conjuntos convexos también es un conjunto convexo. En casos no degenerados, este conjunto convexo es un poliedro convexo (posiblemente ilimitado, como un semiespacio, una placa entre dos semiespacios paralelos o un cono convexo ). También puede ser un poliedro vacío o convexo de menor dimensión delimitado por un subespacio afín del espacio n - dimensional Rn .

Programación lineal

El problema de la programación lineal es buscar el valor óptimo (valor máximo o mínimo) de una función (llamada función objetivo ) bajo un determinado conjunto de restricciones sobre las variables, que, en general, son desigualdades lineales [5] . La lista de estas restricciones es un sistema de desigualdades lineales.

Generalización

La definición anterior requiere operaciones bien definidas de suma , multiplicación y comparación . Por lo tanto, la noción de desigualdad lineal se puede extender a anillos ordenados y, en particular, a campos ordenados . Las generalizaciones de este tipo son solo de interés teórico hasta que las aplicaciones de estas generalizaciones se aclaran.

Notas

↑ Miller y Heeren 1986 , pág. 355.
↑ Técnicamente, tal afirmación es correcta cuando a y b no son iguales a cero al mismo tiempo. En el caso de igualdad a cero, la solución es un conjunto vacío, o el plano completo.
↑ Ángel, Porter, 1989 , p. 310.
↑ En el caso de un espacio bidimensional, tanto la forma lineal como la función afín se denominan históricamente funciones lineales porque sus gráficos son líneas rectas. En otras dimensiones, ninguna de estas funciones tiene una línea recta como gráfica, por lo que la generalización de una función lineal a dimensiones superiores se hace en el sentido de propiedades algebraicas, y esto conduce a una separación en dos clases de funciones. Sin embargo, la diferencia en estas funciones es solo una constante adicional.
↑ Ángel, Porter, 1989 , p. 373.

Literatura

Allen R. Ángel, Stuart R. Porter. Una encuesta de matemáticas con aplicaciones. — 3er. - Addison-Wesley, 1989. - ISBN 0-201-13696-1 .
Charles D. Miller, Vern E. Heeren. Ideas Matemáticas . — 5to. - Scott, Capataz, 1986. - ISBN 0-673-18276-2 .
Khan Academy: Desigualdades lineales, microconferencias en línea gratuitas
Vyalyi MN Desigualdades lineales y combinatoria . M.: MTsNMO, 2003. 32 p.