Espacio localmente convexo

Un espacio localmente convexo es un espacio topológico lineal con un sistema de seminormas que satisface ciertas condiciones.

Definición

Un espacio topológico lineal se denomina espacio localmente convexo si existe una familia de seminormas que cumple dos condiciones: $X$ $\mu$ $X$

Si para cada uno , entonces . $p(x)=0$ ${\ estilo de visualización p \ en \ mu}$ $x=0$
Si, para un punto arbitrario en el espacio , cualquier sistema finito de seminormas de y cualquier sistema finito de números reales positivos, consideramos conjuntos (convexos) que consisten en elementos que satisfacen la condición c , entonces todos esos conjuntos forman la base de la topología en [1] . $x_{{0}}$ $X$ ${\displaystyle p_{1},...,p_{n))$ $\mu$ ${\ estilo de visualización \ épsilon _ {1},..., \ épsilon _ {n}}$ $x\en X$ ${\displaystyle p_{i}(x-x_{0})<\epsilon _{i))$ ${\ estilo de visualización i = 1,..., n}$ $X$

Propiedades

Los espacios localmente convexos son de Hausdorff .
Una secuencia de puntos en un espacio localmente convexo converge a si y solo si la relación se cumple para cada seminorma . ${\ estilo de visualización \ izquierda \ {x_ {n} \ derecha \}}$ $X$ $x\en X$ ${\ estilo de visualización p \ en \ mu}$ $\lim _{n\to \infty}p(x_{n}-x)=0$

Notas

↑ Gaevsky, 1978 , pág. catorce.

Literatura

Gaevsky H., Gröger K., Zacharias K. Ecuaciones de operadores no lineales y ecuaciones diferenciales de operadores. — M .: Mir, 1978. — 336 p.