Paquete de módulos

En matemáticas , un haz de módulos es un haz sobre un espacio anillado que tiene la estructura de un módulo sobre un haz estructural . ${\ estilo de visualización (X, O_ {X})}$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$

Definición

Para un espacio anillado , una gavilla de -módulos (o simplemente -módulo ) es una gavilla sobre tal que es un -módulo para cada conjunto abierto , y para cada conjunto abierto contenido en , el mapeo de restricciones es consistente con la estructura de los módulos: para cada uno tenemos ${\ estilo de visualización (X, O_ {X})}$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ $F$ $X$ $F(T)$ ${\ estilo de visualización O_ {X} (U)}$ $tu$ $V$ $tu$ ${\ estilo de visualización F (U) \ a F (V)}$ $a\en O_{X}(U),f\en F(U)$

(af)|_{V}=a|_{V}f|_{V}

Un morfismo de módulo es un morfismo de haces tal que para cualquier conjunto abierto el mapeo es un morfismo de módulo . ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ ${\ estilo de visualización F \ a G}$ $tu$ ${\ estilo de visualización F (U) \ a G (U)}$ ${\ estilo de visualización O_ {X} (U)}$

Ejemplos

La estructura del haz es un módulo. Un haz de módulos que es un subhaz de un haz se llama haz de ideales en . ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ $X$
Si es un morfismo de -modules, entonces el kernel , la imagen y el cokernel son -modules. ${\ estilo de visualización f: F \ a G}$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ $F$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$
Cualquier suma directa , productos directos , límites directos e inversos de -módulos son -módulos. Un haz de módulos se llama libre si es isomorfo a la suma directa de varias copias . Un haz de módulos se llama localmente libre ( de rango ) si cada punto tiene una vecindad abierta en la que es libre (es isomorfo a la suma directa de copias del haz ). Una gavilla localmente libre de rango 1 también se denomina gavilla invertible . ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ $F$ $r$ $X$ $F$ $r$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$
Si son haces de -módulos, entonces uno puede definir un haz de morfismos de a de la siguiente manera: ${\ estilo de visualización F, G}$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ $F$ $GRAMO$ $U\mapsto Hom_{O_{X}(U)}(F(U),G(U)).$ El dual de -módulo ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ a --módulo es el módulo de morfismos de a . ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ $F$ $F$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$
La gavilla asociada con la pregavilla se denota por . Su fibra en un punto es canónicamente isomorfa . El producto simétrico y externo se define de manera similar. $U\to F(U)\otimes_{O_{X}(U)}G(U)$ $F\otimes_{O_{X}}G$ $X$ $F_{x}\otimes_{O_{X,x}}G_{x}$

Literatura

Hartshorne R. Geometría algebraica / transl. De inglés. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean . "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publicaciones Mathématiques de l'IHES. 4 , 1960.