Límite proyectivo

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El límite proyectivo ( límite inverso ) es una construcción utilizada en varias ramas de las matemáticas que permite construir un nuevo objeto a partir de una familia (indexada por un conjunto dirigido ) de objetos del mismo tipo y un conjunto de aplicaciones . Uno de los tipos de límites en la teoría de categorías . $X$ $X_{yo}$ $f_{{ij}}:X_{j}\to X_{i}$ $i\leqslant j$

La siguiente notación se usa comúnmente para el límite proyectivo:

X=\varprojlim X_{i}

X=\projlim X_{i}

El límite proyectivo se puede definir en una categoría arbitraria . El concepto dual es el límite directo .

Historia

Los límites proyectivos aparecen en las obras de Aleksandrov . [una]

Definición

Estructuras algebraicas

Para los sistemas algebraicos, el límite proyectivo se define de la siguiente manera. Sea un conjunto dirigido (por ejemplo, el conjunto de los enteros ), y sea cada elemento asociado con un sistema algebraico de alguna clase fija (por ejemplo, grupos abelianos , módulos sobre un anillo dado ), y cada par tal que , , estar asociado con un homomorfismo , y — asignaciones idénticas para cualquier y para cualquiera de . Entonces el conjunto portador del límite proyectivo de una familia dirigida es un subconjunto del producto directo , para cuyos elementos cada componente es equivalente a los componentes con índices menores: $yo$ $\leqslant$ $yo en yo$ $X_{yo}$ $(i,\;j)$ $yo,\;j\en yo$ $i\leqslant j$ $f_{{ij}}:X_{j}\to X_{i}$ $f_{{ii}}$ $yo en yo$ $f_{{ik}}=f_{{ij}}\circ f_{{jk}}$ $i\leqslant j\leqslant k$ $yo$ $X$ $X_{yo}$

\varprojlim X_{i}={\biggl \{}(x_{i})\in \prod_{i\in I}X_{i}\;{\bigg |}\;x_{i} =f_{ij}(x_{j})\ \forall i\leqslant j{\biggr \}}.

Hay proyecciones canónicas que eligen el enésimo componente del producto directo para cada uno . Estas proyecciones deben ser homomorfismos, a partir de los cuales es posible restaurar la estructura algebraica añadida en el límite proyectivo. $\pi_i\colon X \to X_i$ $i$ $yo en yo$

Caso general

En una categoría arbitraria, el límite proyectivo se puede describir usando su propiedad universal . Sea una familia de objetos y morfismos de la categoría C que cumplan los mismos requisitos que en el apartado anterior. Entonces se llama límite proyectivo del sistema , o , si se cumplen las siguientes condiciones: $(X_{i},f_{{ij}})$ $X$ $(X_{i},f_{{ij}})$ $X=\varprojlim X_{i}$

hay una familia de mapeos tales que para any ; $\pi _{i}:X\a X_{i}$ $\pi _{i}=f_{{ij}}\circ \pi _{j}$ $i\leqslant j$
para cualquier familia de aplicaciones , un objeto arbitrario , para el cual las igualdades valen para cualquiera , existe una aplicación única que , para todos . $\psi _{i}:Y\a X_{i}$ $Y$ $\psi _{i}=f_{{ij}}\circ \psi _{j}$ $i\leqslant j$ $u:Y\a X$ $\psi _{i}=\pi _{i}\circ tu$ $yo en yo$

Más generalmente, un límite proyectivo es un límite en el sentido categórico de un sistema . $(X_{i},f_{{ij}})$

Ejemplos

Los números ádicos enteros son el límite proyectivo de una secuencia con asignaciones naturales de la forma "tomando el resto" en . $pags$ $\mathbb{Z} _{{p^{n}}}$ $\mathbb{Z } _ {{p^{n}}}\to \mathbb{Z } _ {{p^{m}}}$ $n\geqslant m$
El anillo de series de potencias formales sobre un anillo conmutativo es el límite proyectivo de anillos indexados por números naturales con proyecciones naturales . $\textstyle R[[t]]$ $R$ $\textstyle R[t]/t^{n}R[t]$ $\textstyle R[t]/t^{{n+j}}R[t]\to \textstyle R[t]/t^{n}R[t]$
El conjunto de Cantor es homeomorfo al límite proyectivo de productos de conjuntos de dos puntos (con topología discreta ) con proyecciones a las primeras coordenadas como aplicaciones.
Los grupos profinitos se definen como los límites proyectivos de grupos finitos (discretos).
En la categoría de espacios topológicos, los límites proyectivos vienen dados por la topología inicial sobre el conjunto de soportes correspondiente.

Notas

↑ Aleksandrov P.S., “Ann. de Matemáticas. ", 1928, v. 30, pág. 101-87.

Literatura

McLane S. Capítulo 3. Construcciones y límites universales // Categorías para el matemático en activo = Categorías para el matemático en activo / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 págs. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Límite proyectivo - artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . M. Sh. Tsalenko
Jan-Erik Roos. Revisión de los funtores derivados de límites inversos // J. London Math. Soc.. - 2006. - T. 73 , N º 1 . - S. 65-83 . -doi : 10.1112/ S0024610705022416 .