El límite proyectivo ( límite inverso ) es una construcción utilizada en varias ramas de las matemáticas que permite construir un nuevo objeto a partir de una familia (indexada por un conjunto dirigido ) de objetos del mismo tipo y un conjunto de aplicaciones . Uno de los tipos de límites en la teoría de categorías .
La siguiente notación se usa comúnmente para el límite proyectivo:
, .El límite proyectivo se puede definir en una categoría arbitraria . El concepto dual es el límite directo .
Los límites proyectivos aparecen en las obras de Aleksandrov . [una]
Para los sistemas algebraicos, el límite proyectivo se define de la siguiente manera. Sea un conjunto dirigido (por ejemplo, el conjunto de los enteros ), y sea cada elemento asociado con un sistema algebraico de alguna clase fija (por ejemplo, grupos abelianos , módulos sobre un anillo dado ), y cada par tal que , , estar asociado con un homomorfismo , y — asignaciones idénticas para cualquier y para cualquiera de . Entonces el conjunto portador del límite proyectivo de una familia dirigida es un subconjunto del producto directo , para cuyos elementos cada componente es equivalente a los componentes con índices menores:
Hay proyecciones canónicas que eligen el enésimo componente del producto directo para cada uno . Estas proyecciones deben ser homomorfismos, a partir de los cuales es posible restaurar la estructura algebraica añadida en el límite proyectivo.
En una categoría arbitraria, el límite proyectivo se puede describir usando su propiedad universal . Sea una familia de objetos y morfismos de la categoría C que cumplan los mismos requisitos que en el apartado anterior. Entonces se llama límite proyectivo del sistema , o , si se cumplen las siguientes condiciones:
Más generalmente, un límite proyectivo es un límite en el sentido categórico de un sistema .