Límite inductivo

El límite inductivo (o límite directo , colimit ) es una construcción que surgió inicialmente en teoría de conjuntos y topología , y luego encontró una amplia aplicación en muchas ramas de las matemáticas. El concepto dual es el límite proyectivo (o inverso).

Esta construcción permite construir un nuevo objeto a partir de una secuencia (indexada por un conjunto dirigido ) de objetos del mismo tipo y un conjunto de mapeos . Para el límite inductivo se suele utilizar la notación $X$ $X_{yo}$ ${\displaystyle f_{ij}:X_{i}\to X_{j))$ $i\leqslant j$

X=\varinjlim X_{i}

Daremos una definición para estructuras algebraicas , y luego para objetos de una categoría arbitraria .

Definición

Objetos algebraicos

Esta sección dará una definición adecuada para conjuntos con estructura añadida, como grupos , anillos , módulos sobre un anillo fijo , etc.

Sea un conjunto dirigido con una relación de preorden y sea cada elemento asociado con un objeto algebraico , y cada par , en el cual , esté asociado con un homomorfismo , y sean aplicaciones idénticas para cualquiera y para cualquiera de . Tal sistema de objetos y homomorfismos también se llama sistema dirigido . $yo$ $\leqslant$ $yo en yo$ $X_{yo}$ $(i,\;j)$ $yo,\;j\en yo$ $i\leqslant j$ ${\displaystyle f_{ij}:X_{i}\to X_{j))$ $f_{{ii}}$ $yo en yo$ ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij))$ $i\leqslant j\leqslant k$ $yo$

Entonces el conjunto portador del límite directo del sistema dirigido es el conjunto factorial de la unión disyuntiva de los conjuntos portadores con respecto a la relación de equivalencia: $(X_{i},f_{{ij}})$ $X_{yo}$

\varinjlim X_{i}=\bigsqcup _{i}X_{i}{\bigg /}\sim .

Aquí y son equivalentes si existe tal que . Intuitivamente, dos elementos de una unión disyuntiva son equivalentes si y sólo si "llegan a ser equivalentes tarde o temprano" en un sistema dirigido. Una formulación más simple es el cierre transitivo de la relación de equivalencia "cada elemento es equivalente a sus imágenes", es decir . $x_{i}\en X_{i}$ ${\ estilo de visualización x_ {j} \ en X_ {j}}$ ${\ Displaystyle k \ en I}$ $f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})$ $x_{i}\sim \,f_{ik}(x_{i})$

A partir de esta definición es fácil obtener morfismos canónicos enviando cada elemento a su clase de equivalencia. La estructura algebraica añadida on puede obtenerse del conocimiento de estos homomorfismos. ${\ estilo de visualización \ phi _ {i}: X_ {i} \ flecha derecha X}$ $X$

Definición de una categoría arbitraria

En una categoría arbitraria, el límite directo se puede definir usando su propiedad universal . Es decir, el límite directo de un sistema dirigido es un objeto de una categoría tal que se cumplen las siguientes condiciones: $(X_{i},f_{{ij}})$ $X$

hay una familia de mapeos tales que para any ; ${\ estilo de visualización \ phi _ {i}: X_ {i} \ a X}$ ${\ estilo de visualización \ phi _ {i} = \ phi _ {j} \ circ f_ {ij}}$ $i\leqslant j$
para cualquier familia de asignaciones , a un conjunto arbitrario , para el cual las igualdades son válidas para cualquiera , existe una asignación única que , para todos . ${\ estilo de visualización \ psi _ {i}: X_ {i} \ a Y}$ $Y$ ${\ estilo de visualización \ psi _ {i} = \ psi _ {j} \ circ f_ {ij}}$ $i\leqslant j$ ${\ estilo de visualización u: X \ a Y}$ ${\ estilo de visualización \ psi _ {i} = u \ circ \ phi _ {i}}$ $yo en yo$

Más generalmente, el límite directo de un sistema dirigido es el mismo que su colímite en el sentido categórico.

Ejemplos

En una familia arbitraria de subconjuntos de un conjunto dado, se puede definir una estructura de preorden por inclusión. Si este preorden es efectivamente dirigido , entonces el límite directo de una familia es la unión habitual de conjuntos.
Sea p un número primo . Considere un sistema dirigido de grupos Z / p n Z y homomorfismos Z / p n Z → Z / p n +1 Z inducidos por la multiplicación por p . El límite directo de este sistema contiene todas las raíces de la unidad cuyo orden es alguna potencia de p . Su grupo de multiplicación se llama grupo de Prufer Z ( p ∞ ).
Sea F una gavilla sobre un espacio topológico X con valores en C. Fijar un punto x en X . Las vecindades abiertas de x forman un sistema dirigido por inclusión ( U ≤ V si U contiene V ). El funtor de gavilla le asigna un sistema dirigido ( F ( U ), r U , V ), donde r son funciones de restricción. El límite directo de este sistema se llama fibra F sobre x y se denota por F x .
Los límites directos en la categoría de espacios topológicos se obtienen asignando la topología final al conjunto de soporte correspondiente.

Literatura

S. McLane. Categorías para un matemático en activo, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Bourbaki, Nicolas (1989), Álgebra I , Springer, ISBN 978-3-540-64243-5 , OCLC 40551484
Bourbaki, Nicolas (1989), Topología general: capítulos 1 a 4 , Springer, ISBN 978-3-540-64241-1 , OCLC 40551485