El límite inductivo (o límite directo , colimit ) es una construcción que surgió inicialmente en teoría de conjuntos y topología , y luego encontró una amplia aplicación en muchas ramas de las matemáticas. El concepto dual es el límite proyectivo (o inverso).
Esta construcción permite construir un nuevo objeto a partir de una secuencia (indexada por un conjunto dirigido ) de objetos del mismo tipo y un conjunto de mapeos . Para el límite inductivo se suele utilizar la notación
.Daremos una definición para estructuras algebraicas , y luego para objetos de una categoría arbitraria .
Esta sección dará una definición adecuada para conjuntos con estructura añadida, como grupos , anillos , módulos sobre un anillo fijo , etc.
Sea un conjunto dirigido con una relación de preorden y sea cada elemento asociado con un objeto algebraico , y cada par , en el cual , esté asociado con un homomorfismo , y sean aplicaciones idénticas para cualquiera y para cualquiera de . Tal sistema de objetos y homomorfismos también se llama sistema dirigido .
Entonces el conjunto portador del límite directo del sistema dirigido es el conjunto factorial de la unión disyuntiva de los conjuntos portadores con respecto a la relación de equivalencia:
Aquí y son equivalentes si existe tal que . Intuitivamente, dos elementos de una unión disyuntiva son equivalentes si y sólo si "llegan a ser equivalentes tarde o temprano" en un sistema dirigido. Una formulación más simple es el cierre transitivo de la relación de equivalencia "cada elemento es equivalente a sus imágenes", es decir .
A partir de esta definición es fácil obtener morfismos canónicos enviando cada elemento a su clase de equivalencia. La estructura algebraica añadida on puede obtenerse del conocimiento de estos homomorfismos.
En una categoría arbitraria, el límite directo se puede definir usando su propiedad universal . Es decir, el límite directo de un sistema dirigido es un objeto de una categoría tal que se cumplen las siguientes condiciones:
Más generalmente, el límite directo de un sistema dirigido es el mismo que su colímite en el sentido categórico.