Malmsten, Carl Johan

carl johan malmsten
Sueco. carl johan malmsten

Fecha de nacimiento	9 de abril de 1814( 09-04-1814 ) [1] [2] [3]
Lugar de nacimiento	Skara (comuna)
Fecha de muerte	11 de febrero de 1886( 02/11/1886 ) [1] [2] (71 años)
Un lugar de muerte	Upsala
País	Suecia
Esfera científica	matemáticas
Lugar de trabajo	Universidad de Upsala
alma mater	Universidad de Upsala
Titulo academico	Doctor en Filosofía (PhD) en Matemáticas
Título académico	Profesor
Archivos multimedia en Wikimedia Commons

Carl Johan Malmsten ( Sueco Carl Johan Malmsten ; 9 de abril de 1814, comuna de Skara , Suecia - 11 de febrero de 1886 , Uppsala , Suecia ) fue un matemático y político sueco. Conocido por sus primeros trabajos sobre análisis complejo, la teoría de algunas funciones especiales y como cofundador (con Mittag-Leffler ) de la revista matemática Acta Mathematica [4] .

Malmsten recibió su título de profesor asociado en 1840 y dos años más tarde se convirtió en profesor de matemáticas en la Universidad de Uppsala . En 1844 fue admitido en la Real Academia Sueca de Ciencias . De 1859 a 1866 también formó parte del gobierno del municipio de Skara , donde se desempeñó como ministro sin cartera , mientras al mismo tiempo seguía estudiando matemáticas.

Contribución principal

Durante mucho tiempo, el nombre de Karl Malmsten se mencionó principalmente en relación con sus primeros trabajos sobre la teoría de funciones de variable compleja [5] . Sin embargo, también hizo importantes contribuciones a otras áreas de análisis, en particular a la teoría de la especificación. funciones y ecuaciones diferenciales, pero, desafortunadamente, muchos de sus trabajos fueron olvidados inmerecidamente, y los resultados fueron atribuidos a otros. Entonces, hace relativamente poco tiempo, Yaroslav Blagushin (Iar Blagouchine) [6] demostró que fue Malmsten quien poseía una serie de trabajos importantes sobre integrales logarítmicas y sumas estrechamente relacionadas con la función gamma , su derivada logarítmica , la función zeta generalizada , así como Serie L de Dirichlet . En particular, en 1842, Malmsten pudo expresar en forma analítica las siguientes integrales logarítmicas

\int \limites _{0}^{1}\!{\frac {\,\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{1+x^{2}}}\,dx \,=\,\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\,\ln \ln {x}\,}{1+x^{2))}\,dx\ ,=\,{\frac {\pi }{\,2\,}}\ln \left\({\frac {\Gamma {(3/4))){\Gamma {(1/4))) ) }{\sqrt {2\pi\,}}\right\}

\int \limites _{0}^{{1}}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1+x)^{2}}}\,dx=\ int \limits _{1}^{{\infty }}\!{\frac {\ln \ln {x}}{(1+x)^{2}}}\,dx={\frac {1} {2}}{\bigl (}\ln \pi -\ln 2-\gamma {\bigr)},

\int \limites _{0}^{{1}}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x+x^{2}}}\,dx =\int \limits _{1}^{{\infty }}\!{\frac {\ln \ln {x}}{1-x+x^{2}}}\,dx={\frac { 2\pi }{{\sqrt {3))))\ln {\biggl \{}{\frac {{\sqrt[ {6}]{32\pi ^{5)))){\Gamma {( 1/6)))}{\grande\))

\int \limites _{0}^{{1}}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x+x^{2}}}\,dx =\int \limits _{1}^{{\infty }}\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+x+x^{2}}}\,dx={\frac { \pi }{{\sqrt {3))))\ln {\biggl \{}{\frac {\Gamma {(2/3))){\Gamma {(1/3)))}{\sqrt [ {3}]{2\pi }}{\biggr\}}

\int \limites _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}}\ ,dx\,=\int \limits _{1}^{{\infty }}\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}} \,dx={\frac {\pi }{2\sin \varphi }}\ln \left\{{\frac {(2\pi )^{({\frac {\scriptstyle \varphi }{\scriptstyle \ pi }}}}\,\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}} \!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}-{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}} \!\right)}}\right\},\qquad -\pi <\varphi <\pi .

\int \limites _{0}^{{1}}\!{\frac {x^{{n-2}}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x^{ 2}+x^{4}-\cdots +x^{{2n-2))))\,dx\,=\int \limits _{1}^({\infty }}\!{\frac { x^{{n-2}}\ln \ln {x}}{1-x^{2}+x^{4}-\cdots +x^{{2n-2}}}}\,dx=

\quad =\,{\frac {\pi }{\,2n\,}}\sec {\frac {\,\pi \,}{2n}}\!\cdot \ln \pi +{\frac { \pi }{\,n\,}}\cdot \!\!\!\!\!\!\sum _{{l=1}}^{{\;\;{\frac {1}{2 }}(n-1)}}\!\!\!\!(-1)^{{l-1}}\cos {\frac {\,(2l-1)\pi \,}{2n} }\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {2l-1}{2n))\right)}{\Gamma \!\left( \displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}}\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots

\int \limites _{0}^{{1}}\!{\frac {x^{{n-2}}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x^{ 2}+x^{4}+\cdots +x^{{2n-2))))\,dx\,=\int \limits _{1}^({\infty }}\!{\frac { x^{{n-2}}\ln \ln {x}}{1+x^{2}+x^{4}+\cdots +x^{{2n-2}}}}\,dx=

\qquad ={\begin{casos}\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n))\tan {\frac {\,\pi \,}{2n))\ln 2\pi +{ \frac {\pi {n}}\sum _{{l=1}}^{{n-1}}(-1)^{{l-1}}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n))\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)))\ derecha\},\quad n=2,4,6,\ldots \\[10mm]\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n))\tan {\frac {\,\pi \, {2n}}\ln \pi +{\frac {\pi }{n}}\!\!\!\!\!\sum _{{l=1}}^{{\;\;\; {\frac {1}{2}}(n-1)}}\!\!\!\!(-1)^{{l-1}}\sin {\frac {\,\pi l\, {n))\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {\,l}{n))\!\right)}{\ Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {\,l}{n))\!\right)))\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots \end{casos }}

Los detalles de los cálculos, así como un interesante análisis histórico, se encuentran en las obras de Ya. Blagushin [6] [7] . Muchas de estas integrales fueron redescubiertas y reestudiadas recién en el siglo XX. En particular, ellos, sin una sola mención de Malmsten, aparecieron periódicamente en las obras de Ilan Vardi (Ilan Vardi), Viktor Adamchik (Victor Adamchik), Victor Moll (Victor Moll), Eric Weisstein y algunos otros [8] [9] [10] [11] [12] [13] . Es más, los conceptos erróneos sobre la autoría de estas fórmulas han ido tan lejos que en muchas fuentes modernas la primera de estas integrales se denomina integral de Vardi , aunque la calculó 146 años después que Malmsten. Malmsten obtuvo estas fórmulas utilizando varias expansiones de series bastante engorrosas, integración término por término y también aplicando hábilmente transformaciones elementales. Los métodos de análisis modernos permiten obtenerlos en menos tiempo, como los métodos de integración de contornos [6] , utilizando la función zeta de Hurwitz [9] , a través de polilogaritmos [10] y utilizando la serie L de Dirichlet [8] . Los mismos métodos permiten calcular integrales de Malmsten más complejas [14] , un gran número de las cuales fueron consideradas en los trabajos de V. Adamchik [9] y, especialmente, Ya. Blagushin [6] (alrededor de 80 integrales). Aquí hay algunos ejemplos de tales integrales.

\int \limites _{0}^{1}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x))}{1+x^{3))}\,dx=\int \limits _ {1}^{\infty }{\frac {x\ln \ln x}{1+x^{3}}}\,dx={\frac {\ln 2}{6}}\ln {\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{6{\sqrt 3}}}\left\{\ln 54-8\ln 2\pi +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\derecho)\derecho\}

\int \limites _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1-x+x^{2})^{2} }}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln x}{(1-x+x^{2})^{2}}} \,dx=-{\frac {\gamma }{3}}-{\frac {1}{3}}\ln {\frac {6{\sqrt 3}}{\pi }}+{\frac { \pi {\sqrt 3}}{27}}\left\{5\ln 2\pi -6\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\right\}

\int \limits _{0}^{1}{\frac {\left(x^{4}-6x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}} {\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\left(x^{4}- 6x^{2}+1\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx={\frac {2\,{ \mathrm {G}}}{\pi }}

\int \limits _{0}^{1}{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x)) }{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\left(x^{4 }-4x^{2}+1\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx={\frac {7\ zeta(3)}{8\pi^{2}}}

{\begin{array}{ll}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x\!\left(x^{({\frac {m}{n))))- x^{{-{\frac {m}{n}}}}\right)^{{\!2}}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1-x ^{2})^{2}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\!\left(x^{{{\frac {m} {n))))-x^{{-{\frac {m}{n))))\right)^({\!2))\ln \ln {x)){\,(1-x ^{2})^{2}\,}}\,dx=\!\!\!&\displaystyle {\frac {\,m\pi \,}{\,n\,}}\sum_ {l=1}}^{{n-1}}\sin {\dfrac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma \!\left(\!{\frac {l}{n ))\!\right)-\,{\frac {\pi m}{\,2n\,}}{\mathrm {ctg}}{\frac {\pi m}{n}}\cdot \ln \ pi n\\[3mm]&\displaystyle -\,{\frac {\,1\,}{2))\ln \!\left(\!{\frac {\,2\,}{\pi } }\sin {\frac {\,m\pi \,}{n))\!\right)-\,{\frac {\gamma }{2))\end{matriz))

{\begin{array}{l}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}\!\left(x^{{{\frac {m}{n} ))}+x^{{-{\frac {m}{n))))\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2} )^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}\!\left(x^{{{\frac {m} {n))))+x^{{-{\frac {m}{n))))\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{3 }\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \left(n^{2}-m^{2}\right)\,}{8n^{2}}}\!\sum _{{l=0}}^{{2n-1}}\!(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \ln \ Gamma \!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)\\[3mm]\displaystyle \,\,+{\frac {\,m\,}{\,8n^ {2}\,}}\!\sum _{{l=0}}^{{2n-1}}\!(-1)^{l}\sin {\dfrac {(2l+1)m\ pi {2n}}\cdot \Psi \!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)-{\frac {\,1\,}{\,32\pi n ^{2}\,}}\!\sum_{{l=0}}^{{2n-1}}(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi {2n}}\cdot \Psi _{1}\!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)+\,{\frac {\,\pi (n^{ 2}-m^{2})\,}{16n^{2}}}\seg {\dfrac {m\pi }{2n}}\cdot \ln 2\pi n\end{matriz}}

donde m y n son números enteros positivos tales que m < n , G es la constante catalana , ζ es la función zeta de Riemann , Ψ es la función digamma , Ψ 1 es la función trigamma; ver respectivamente ur. (43), (47) y (48) en [9] para las tres primeras integrales, y ej. 36-a, 36-b, 11-b y 13-b en [6] para las últimas cuatro (la tercera integral aparece en ambos artículos). Curiosamente, algunas integrales de Malmsten conducen a funciones gamma y poligamma del argumento complejo, que no son muy comunes en el análisis. Por ejemplo,

\int \limites _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+4x^{2}+x^{4}}} \,dx=\int \limits _{1}^{{\infty }}\!{\frac {x\ln \ln {x}}{1+4x^{2}+x^{4}}} \,dx={\frac {\,\pi \,}{\,2{\sqrt {3\,}}\,}}{\mathrm {Im}}\!\left[\ln \Gamma \! \left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{2\pi i}}\right)\!\right ]+\,{\frac {\ln(2+{\raíz cuadrada {3\,)))}{\,4{\raíz cuadrada {3\,}}\,}}\ln \pi

tanto como,

\int \limits _{{0}}^{{1}}\!{\frac {\,x\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{\,x^{4} -2x^{2}{\mathrm {ch}}{2}+1\,}}\,dx=\int \limits _{{1}}^({\infty }}\!{\frac {\ ,x\ln \ln {x}\,}{\,x^{4}-2x^{2}{\mathrm {ch}}{2}+1\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \,}{2\,{\mathrm {sh}}{2}\,}}{\mathrm {Im}}\!\left[\ln \Gamma \!\left(\!{ \frac {i}{2\pi }}\right)-\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2\pi }}\ derecha)\!\derecha]-{\frac {\,\pi ^{2}}{8\,{\mathrm {sh}}{2}\,}}-{\frac {\,\ln 2\ pi \,}{2\,{\mathrm {sh}}{2}\,}}

véase Yaroslav Blagushin [6] , ej. 7-a y 37, respectivamente. También se ha establecido que las integrales de Malmsten están estrechamente relacionadas con las constantes de Stieltjes generalizadas [6] [7] [15] , que todavía son poco conocidas en este momento.

En 1842, Malmsten también logró calcular varias series logarítmicas importantes, entre las que destacan las dos siguientes:

\sum _{{n=0}}^{{\infty }}(-1)^{{n}}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\, {\frac {\pi }{4}}{\grande (}\ln \pi -\gamma )-\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)

\sum _{{n=1}}^{{\infty }}(-1)^{{n-1}}{\frac {\sin an\cdot \ln {n}}{n}}\, =\,\pi \ln \left\{{\frac {\pi ^{({\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2\pi }}}}}{\Gamma \ izquierda(\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {a}{2\pi }}\right)}}\right\}-{\frac {a}{2}}{\big (}\gamma +\ln 2{\big )}-{\frac {\pi }{2}}\ln \cos {\frac {a}{2}}\,,\qquad -\pi <a< \Pi .

El último resultado es especialmente importante porque es una expansión en serie de Fourier del logaritmo de la función Gamma , un resultado que generalmente, y como se muestra en [6] , se atribuye erróneamente a Ernst Kummer , quien derivó una fórmula similar

{\frac {1}{\pi }}\sum_{{n=1}}^({\infty}}{\frac {\sin 2\pi nx\cdot \ln {n}}{n}} =\ln \Gamma (x)-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+{\frac {1}{2}}\ln(2\sin \pi x)-{\ fracción {1}{2}}(\gamma +\ln 2\pi )(1-2x)\,,\qquad 0<x<1,

solo en 1847 (estrictamente hablando, el resultado de Kummer se obtiene del resultado de Malmsten al establecer a = π (2x-1)).

Malmsten también hizo una gran contribución a la teoría de las funciones zeta, así como a las integrales y series relacionadas con ellas. En particular, fue él quien demostró en 1842 que

L(s)\equiv \sum _{{n=0}}^{{\infty}}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\qquad \qquad L(1-s)=L(s)\Gamma (s)2^{s}\pi ^{{-s))\sin {\frac {\pi s}{2)),

M(s)\equiv {\frac {2}{{\sqrt {3}}}}\sum_{{n=1}}^({\infty}}{\frac {(-1)^{{ n+1))}{n^{s))}\sin {\frac {\pi n}{3))\qquad \qquad M(1-s)=\displaystyle {\frac {2}{{\ raíz cuadrada {3))))\,M(s)\Gamma (s)3^{s}(2\pi )^{{-s))\sin {\frac {\pi s}{2)),

donde las series de la izquierda y la derecha convergen para 0<s<1. Curiosamente, la primera de estas fórmulas fue indicada por Leonhard Euler en 1749 [16] , pero fue Malmsten quien la probó rigurosamente. Es bastante gracioso que la fórmula para la serie L(s) también la dio Oskar Schlömilch en 1849, además, como un ejercicio para los estudiantes, pero publicó su demostración solo 9 años después. [6] [17] [18] [19] Cabe destacar la similitud de la fórmula de L(s) con la famosa fórmula de reflexión de Riemann

\zeta (1-s)=2\zeta (s)\Gamma (s)(2\pi )^{{-s}}\cos {\frac {\pi s}{2}}\,,\qquad \qquad \qquad s\neq 0.

que Riemann derivó en 1858, y que, dicho sea de paso, también fue dado por primera vez, aunque en una forma ligeramente diferente, por Leonhard Euler en 1749 [16] . En 1846, Malmsten también derivó varias otras fórmulas de reflexión que son casos especiales de la fórmula de reflexión de Hurwitz para la función zeta generalizada.

Hablando de la contribución de Malmsten a la teoría de las funciones zeta, no se puede dejar de mencionar el muy reciente descubrimiento de su autoría de la fórmula de reflexión para la primera constante de Stieltjes generalizada

\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr)}-\gamma _{1}{\biggl (}1-{\frac {m}{n}} {\biggr)}=2\pi \sum_{{l=1}}^{{n-1}}\sin {\frac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma {\ biggl (}{\frac {l}{n}}{\biggr )}-\pi (\gamma +\ln 2\pi n){\mathrm {ctg}}{\frac {m\pi }{n} }

donde m y n son números enteros positivos tales que m < n . Esta igualdad fue erróneamente atribuida durante mucho tiempo a Almkvist y Meurman, quienes la obtuvieron un siglo y medio más tarde que Malmsten [7] .

Cabe señalar que los escritos de Malmsten están escritos en un idioma muy moderno y son fáciles de leer (a pesar de que muchos están escritos en latín, francés y sueco). Además, las designaciones adoptadas en las obras de Malmsten coinciden casi por completo con las modernas, lo que también facilita enormemente su lectura.

Enlaces

↑ 1 2 Carl J Malmsten (Sueco) - 1917.
↑ 1 2 Malmsten i Mariestad, Carl J // Tvåkammar-riksdagen 1867–1970 (sueco) - V. 4. - P. 340.
↑ Skara domkyrkoförsamlings arkiv (tom 1933 Skara stadsförsamling), Födelse- och dopböcker, SE/GLA/13472/C/4 (1777-1816), bildid: C0052328_00096, sida 170
↑ Mittag-Leffler y Acta (enlace descendente) .
↑ "Om definita integraler mellan imaginära gränsor" (1865).
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Iaroslav V. Blagouchine Redescubrimiento de las integrales de Malmsten, su evaluación por métodos de integración de contorno y algunos resultados relacionados. El Diario Ramanujan, vol. 35, núm. 1, págs. 21-110, 2014. Archivado el 12 de diciembre de 2017 en Wayback Machine PDF Archivado el 7 de mayo de 2021 en Wayback Machine
↑ 1 2 3 Iaroslav V. Blagouchine Un teorema para la evaluación de forma cerrada de la primera constante de Stieltjes generalizada en argumentos racionales y algunas sumas relacionadas Journal of Number Theory (Elsevier), vol. 148, págs. 537-592, 2015. Archivado el 24 de septiembre de 2015 en Wayback Machine arXiv PDF Archivado el 14 de diciembre de 2017 en Wayback Machine .
↑ 1 2 I. Vardi Integrals, una introducción a la teoría analítica de números. Revista Matemática Estadounidense, vol. 95, págs. 308-315, 1988.
↑ 1 2 3 4 V. Adamchik Una clase de integrales logarítmicas. Actas del Simposio Internacional de Computación Simbólica y Algebraica de 1997, págs. 1-8, 1997.
↑ 1 2 L. A. Medina y V H Moll Una clase de integrales logarítmicas. El Diario Ramanujan, vol. 20, núm. 1, págs. 91-126, 2009.
↑ VH Moll Algunas preguntas en la evaluación de integrales definidas. Curso Corto MAA, San Antonio, TX. Ene. 2006.
↑ Integral de Eric W. Weisstein Vardi . De MathWorld-A Wolfram Web Resource. . Fecha de acceso: 29 de junio de 2014. Archivado desde el original el 24 de marzo de 2014. (indefinido)
↑ NJA Sloane Sequence A115252 en The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . . Consultado el 29 de junio de 2014. Archivado desde el original el 5 de diciembre de 2014. (indefinido)
↑ Es más correcto llamar integrales de este tipo integrales de Malmsten , en lugar de integrales de Vardy.
↑ Math StackExchange: evaluación de una integral particular (creado: 8 de marzo de 2014) . Fecha de acceso: 9 de julio de 2014. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016. (indefinido)
↑ 1 2 L. Euler Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. Histoire de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres, année MDCCLXI, volumen 17, págs. 83-106, A Berlin, chez Haude et Spener, Libraires de la Cour et de l'Académie Royale, 1768 [leído en 1749]
↑ Serie Divergente de GH Hardy . Oxford en Clarendan Press, 1949.
↑ H. Wieleitner Geschichte der Mathematik [en 2 vols.] Berlín, 1922-1923.
↑ J. Dutka Sobre la suma de algunas series divergentes de Euler y las funciones zeta. Archivo de Historia de las Ciencias Exactas, Volumen 50, Número 2, pp. 187-200, Archivo de Historia de las Ciencias Exactas, 27.VIII.1996. . Consultado el 3 de octubre de 2017. Archivado desde el original el 16 de junio de 2018. (indefinido)

sitios temáticos

diccionarios y enciclopedias

biografía sueca

En catálogos bibliográficos
TIERRA : 123188113 ISNI : 0000 0000 8362 9883 LCCN : no2010133410 LIBRIS : 31fjmfgm1n015sm VIAF : 20582701 WorldCat VIAF : 20582701