Función zeta de Hurwitz

En matemáticas , la función zeta de Hurwitz , llamada así por Adolf Hurwitz , es una de las muchas funciones zeta que son generalizaciones de la función zeta de Riemann . Formalmente, se puede definir como una serie de potencias para argumentos complejos s , para Re( s ) > 1, y q , Re( q ) > 0:

\zeta (s,q)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{{s}}}}.

Esta serie es absolutamente convergente para valores dados de s y q . La función zeta de Riemann es un caso especial de la función zeta de Hurwitz para q = 1.

Continuación analítica

La función zeta de Hurwitz admite una continuación analítica de una función meromórfica , definida para todo s complejo , para s ≠ 1. En el punto s = 1, tiene un polo simple con residuo 1. El término constante de la serie de Laurent en la vecindad del punto s = 1 es:

\lim _{{s\to 1}}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)} {\ Gama (q)}}=-\ psi (q)

donde Γ( x ) es la función gamma y ψ( x ) es la función digamma .

Representaciones de filas

Helmut Hasse [1] obtuvo en 1930 una representación en serie de potencias convergentes para q > −1 y un complejo arbitrario s ≠ 1

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum_{{n=0}}^{\infty}{\frac {1}{n+1}}\sum_ {{k=0}}^{n}(-1)^{k}{n \elegir k}(q+k)^{{1-s}}.

Esta serie converge uniformemente en cualquier subconjunto compacto del plano s complejo a una función completa . La suma interna se puede representar como la n-ésima diferencia finita para , es decir : $q^{{1-s}}$

\Delta ^{n}q^{{1-s}}=\sum _{{k=0}}^{n}(-1)^{{nk}}{n \elegir k}(q+k )^{{1-s}}

donde Δ es el operador de diferencia finita . De este modo

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{{n=0}}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}{n +1}}\Delta ^{n}q^{{1-s}}

={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{{1-s}}.

Representaciones integrales

La función zeta de Hurwitz tiene una representación integral en forma de transformada de Mellin :

\zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{{s-1}}e^{{ -qt}}}{1-e^{{-t}}}}dt

para Re( s )>1 y Re( q )>0.

Fórmula de Hurwitz

\zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{{-i\pi s/2}}\beta (x;s)+e^{{i\ pi s/2}}\beta (1-x;s)\right]

dónde

\beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n )^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{{2 \piix}})

Esta representación de la función zeta de Hurwitz es válida para 0 ≤ x ≤ 1 y s >1. Aquí está el polilogaritmo . ${\text{Li}}_{s}(z)$

Ecuación funcional

Esta ecuación funcional relaciona los valores de la función zeta de Hurwitz a la izquierda y a la derecha de la recta Re( s )=1/2 en el plano s complejo. Para m y n naturales tales que m ≤ n:

\zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _ {{k=1}}^{n}\left[cos\left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\ zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]

verdadero para todos los valores de s .

Serie de Taylor

La derivada de la función zeta de Hurwitz con respecto al segundo argumento también se expresa en términos de la función zeta de Hurwitz:

{\frac {\parcial }{\parcial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).

Entonces la serie de Taylor es:

\zeta (s,x+y)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!)}}{\frac {\parcial^{k } }{\parcial x^{k))}\zeta (s,x)=\sum _{{k=0))^{\infty}{s+k-1 \elegir s-1}(-y ) ^{k}\zeta (s+k,x).

Serie de Laurent

La expansión de Laurent la función zeta de Hurwitz se puede utilizar para determinar constantes de Stieltjes que aparecen en la expansión:

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum_{{n=0}}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}{ n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}.

Transformada de Fourier

La transformada discreta de Fourier con respecto a la variable s de la función zeta de Hurwitz es la función chi de Legendre [2]

Conexión con polinomios de Bernoulli

La función definida anteriormente generaliza los polinomios de Bernoulli : ${\ estilo de visualización \ beta (x; n)}$

B_{n}(x)=-Re\left[(-i)^{n}\beta (x;n)\right]

Por otra parte,

\zeta (-n,x)=-{B_{{n+1}}(x) \sobre n+1}.

En particular, cuando : $n=0$

\zeta (0,x)={\frac {1}{2}}-x.

Relación con la función theta de Jacobi

Si es la función theta de Jacobi , entonces ${\ estilo de visualización \ vartheta (z, \ tau)}$

\int _{0}^{\infty}\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{{s/2}}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{ {-(1-s)/2}}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s ,1-z)\derecha]

Esta fórmula es cierta para Re( s ) > 0 y cualquier complejo z que no sea un número entero. Para un número entero z = n , la fórmula se simplifica:

\int _{0}^{\infty}\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{{s/2}}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{{-(1-s)/2}}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{{- s/2}}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta(s)

donde ζ( s ) es la función zeta de Riemann. La última expresión es la ecuación funcional de la función zeta de Riemann.

Conexión con la función L de Dirichlet

Para valores racionales del argumento, la función zeta de Hurwitz se puede representar como una combinación lineal de funciones L de Dirichlet y viceversa. Si q = n / k para k > 2, ( n , k ) > 1 y 0 < n < k , entonces

\zeta (s,n/k)=\sum_{\chi}\overline {\chi}(n)L(s,\chi),

la suma se realiza sobre todos los caracteres de Dirichlet módulo k . y de vuelta

L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{{n=1}}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s, {\frac{n}{k}}\derecha).

en particular, la siguiente representación es verdadera:

k^{s}\zeta(s)=\sum _{{n=1}}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),

generalizando

\sum _{{p=0}}^{{q-1}}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).

(Verdadero para q natural y 1 no natural − qa .)

Valores racionales de los argumentos

La función zeta de Hurwitz se presenta en varias relaciones interesantes para los valores racionales de los argumentos. [2] En particular, para polinomios de Euler : $E_{n}(x)$

E_{{2n-1}}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{{2n))))\sum_{{k=1}}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\ fracción {(2k-1)\pi p}{q}}

E_{{2n}}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{ {2n+1}}}}\sum_{{k=1}}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\ fracción {(2k-1)\pi p}{q}}

Además

\zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{{s-1}}\sum_{{k=1}}^{q}\ izquierda[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{ s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]

correcto para . Aquí y se expresan en términos de la función chi de Legendre como $1\leq p\leq q$ $C_{\nu}(x)$ $S_{\nu}(x)$ $\chi _{\nu}$

C_{\nu }(x)=\nombre del operador {Re}\,\chi _{\nu }(e^{{ix)))

S_{\nu }(x)=\operatorname {Im}\,\chi _{\nu }(e^{{ix}}).

Aplicaciones

La función zeta de Hurwitz aparece en varias ramas de las matemáticas. Se encuentra con mayor frecuencia en la teoría de números , donde su teoría está más desarrollada. Además, la función zeta de Hurwitz se encuentra en la teoría de los fractales y los sistemas dinámicos . La función zeta de Hurwitz se utiliza en estadística matemática , surge en la ley de Zipf . En física de partículas elementales , ocurre en la fórmula de Schwinger [3] , que da un resultado exacto para el índice de producción de pares en la ecuación de Dirac para un campo electromagnético estacionario .

Casos especiales y generalizaciones

La función zeta de Hurwitz está relacionada con la función poligamma :

\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z).

La función zeta de Lerch generaliza la función zeta de Hurwitz:

\Phi (z,s,q)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}

eso es

{\ estilo de visualización \ zeta (s, q) = \ Phi (1, s, q).}

Notas

↑ Helmut Hasse. Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe (alemán) // Mathematische Zeitschrift. - 1930. - Bd. 32 , núm. 1 . -doi : 10.1007/ BF01194645 .
↑ 1 2 Djurdje Cvijovic, Jacek Klinowski. Valores de las funciones chi de Legendre y zeta de Hurwitz en argumentos racionales // Matemáticas . Comp.. - 1999. - No. 68 . — Pág. 1623-1630 .
↑ J. Schwinger. Sobre la invariancia del calibre y la polarización del vacío // Revisión física. - 1951. - T. 82 , N º 5 . — S. 664–679 . -doi : 10.1103 / PhysRev.82.664 .

Literatura

Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, Manual de funciones matemáticas , (1964) Publicaciones de Dover, Nueva York. ISBN 0-486-61272-4 .
Victor S. Adamchik, Derivados de la función Zeta de Hurwitz para argumentos racionales , Journal of Computational and Applied Mathematics, 100 (1998), pp 201-206.
Linas Vepstas, el operador de Bernoulli, el operador de Gauss-Kuzmin-Wirsing y el Riemann Zeta
Istvan Mezo y Ayhan Dil, Serie hiperarmónica que involucra la función zeta de Hurwitz (enlace no disponible) , Journal of Number Theory, (2010) 130 , 2, 360-369.

Enlaces

Jonathan Sondow y Eric W. Weisstein. Hurwitz Zeta Function (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .