Determinante de Vandermonde

El determinante de Vandermonde es el determinante

{\begin{vmatrix}1&x_{1}&\ldots &x_{1}^{{n-1}}\\1&x_{2}&\ldots &x_{2}^{{n-1}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&\ldots &x_{n}^{{n-1}}\\\end{vmatriz}}\ \ =\prod _{{{1\leq j <i\leq n}}\!(x_{i}-x_{j}),

llamado así por el matemático francés Alexandre Theophile Vandermonde . [1] Esta fórmula muestra que el determinante de Vandermonde es igual a cero si y solo si existe al menos un par tal que . $\izquierda(x_{i},x_{j}\derecha)$ $x_{i}=x_{j},i\neq j$

Prueba

Prueba por inducción

Inducción del tamaño de la matriz . $metro$

inducción básica

$metro=2$ . En este caso, la matriz es

V_{2}={\begin{bmatriz}1&x_{1}\\1&x_{2}\\\end{bmatriz}}

Obviamente, su determinante es . $x_{2}-x_{1}$

Suposición inductiva

{\begin{vmatriz}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\puntos &x_{1}^{{m-2}}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\puntos &x_{2}^{{m-2}}\\.&.&.&.&.\\1&x_{{m-1}}&x_{{m-1}}^{2}&\puntos &x_{ {m-1}}^{{m-2}}\\\end{vmatrix}}=\prod \limits _{{1\leqslant i<j\leqslant m-1}}(x_{j}-x_ {i})

transición inductiva

{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\puntos &x_{1}^{{m-1}}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\puntos &x_{2}^{{m-1}}\\.&.&.&.&.\\1&x_{{m}}&x_{{m}}^{2}&\puntos &x_{{m}} ^{{m-1}}\\\end{vmatriz}}

Resta de la última columna la penúltima, multiplicada por , de la -ésima - -ésima, multiplicada por , de la -ésima - -ésima, multiplicada por y así sucesivamente para todas las columnas. Estas transformaciones no cambian el determinante de la matriz. Obtener $x_{1}$ $m-2$ $m-3$ $x_{1}$ $i$ $i-1$ $x_{1}$

{\begin{vmatriz}1&0&0&\puntos &0\\1&x_{2}-x_{1}&x_{2}(x_{2}-x_{1})&\puntos &x_{2}^{{m-2} }(x_{2}-x_{1})\\.&.&.&.&.\\1&x_{{m}}-x_{1}&x_{{m}}(x_{{m}}- x_{1})&\puntos &x_{{m}}^{{m-2}}(x_{{m}}-x_{1})\\\end{vmatriz}}

Expandiendo este determinante sobre los elementos de la primera fila, obtenemos que es igual al siguiente determinante:

{\begin{vmatriz}x_{2}-x_{1}&x_{2}(x_{2}-x_{1})&\puntos &x_{2}^{{m-2}}(x_{2} -x_{1})\\.&.&.&.\\x_{{m}}-x_{1}&x_{{m}}(x_{{m}}-x_{1})&\puntos &x_{{m}}^{{m-2}}(x_{{m}}-x_{1})\\\end{vmatriz}}

Para todo desde 1 para sacar el multiplicador de la -ésima línea . Obtener $i$ $m-1$ $i$ $x_{{i+1}}-x_{1}$

(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})\puntos (x_{{m}}-x_{1}){\begin{vmatriz}1&x_{2}&\puntos &x_{2}^{{m-2}}\\.&.&.&.\\1&x_{{m}}&\puntos &x_{{m}}^{{m-2}}\\\fin {vmatriz}}

Sustituimos el valor del determinante en la fórmula anterior, conocido de la hipótesis de inducción:

(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})\puntos (x_{{m}}-x_{1})\prod \limits_{{2\leqslant i<j \leqslant m}}(x_{{j}}-x_{{i}})=\prod \limits _{{1\leqslant i<j\leqslant m}}(x_{j}-x_{i})

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Prueba por Comparación de Potencias

Se puede obtener otra prueba suponiendo que son variables en el anillo polinomial . En este caso, el determinante de Vandermonde es un polinomio en variables. Se compone de monomios, el grado de cada uno de los cuales es igual a . Entonces el grado es el mismo número. $x_{1},\ldots,x_{n}$ ${{\mathbb C}}[x_{1},\ldots,x_{n}]$ $V$ $norte$ $0+1+\ldots +(n-1)={\frac {n(n-1)}2}$ $V$

Tenga en cuenta que si algunos y coinciden, entonces el determinante es igual a cero, ya que aparecen dos filas idénticas en la matriz. Por lo tanto, el determinante como polinomio debe ser divisible por . En total, existen diferentes pares y (para ) , que es igual al grado de . En otras palabras, es divisible por polinomios de varios grados . Por lo tanto, es igual a su producto hasta una constante. Pero, como puedes ver abriendo los paréntesis, la constante es igual a uno. [2 ] $x_{yo}$ $x_{j}$ $(x_{i}-x_{j})$ $x_{yo}$ $x_{j}$ $yo>j$ $0+1+\ldots +(n-1)$ $V$ $V$ $\grado V$ $una$

Propiedades

La matriz de Vandermonde es un caso especial de matriz alternativa en la que . $f_{i}(\alfa)=\alfa^{{i-1}}$

Si es una raíz primitiva de la unidad y es una matriz de Vandermonde con elementos , entonces la matriz inversa hasta una matriz diagonal tiene la forma : . $\zeta$ $norte$ $A=(a_{{i,j}})$ $a_{{i,j}}=\zeta^{{ij}}$ $B=({\tilde {a}}_{{i,j}})$ ${\tilde {a}}_{{i,j}}=\zeta^{{-ij}}$ $AB=n\cdot E$

Aplicación

El determinante de Vandermonde tiene numerosas aplicaciones en diferentes áreas de las matemáticas. Por ejemplo, al resolver el problema de la interpolación por polinomios , es decir, el problema de encontrar un polinomio de grado cuya gráfica pase por dados puntos del plano con abscisas , surge el determinante de Vandermonde como determinante de un sistema de ecuaciones lineales , a partir de que se encuentran los coeficientes desconocidos del polinomio deseado. [3] $n-1$ $norte$ $x_{1},\ldots,x_{{n}}$

Multiplicación rápida de un vector por una matriz de Vandermonde

La multiplicación rápida de un vector por una matriz de Vandermonde equivale a encontrar los valores de un polinomio y se puede calcular en operaciones, donde es el costo de multiplicar dos polinomios. [4] El método de encontrar rápidamente los valores de un polinomio se basa en el hecho de que . Utilizando el algoritmo de multiplicación rápida para polinomios (así como su modificación, la operación de tomar módulo un polinomio), como el método de multiplicación de Schönhage-Strassen, aplicando el paradigma divide y vencerás , para multiplicaciones de polinomios (y operaciones módulo polinomios) se construye un árbol, cuyas hojas son polinomios (valores) , y la raíz del árbol es un polinomio . [5] ${\ estilo de visualización (a_ {0}, \ puntos, a_ {n}) ^ {t))$ $norte$ $x_{yo}$ ${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n))$ $O(\log(n)\cdot M(n))$ $Minnesota)$ $norte$ ${\displaystyle f(x_{i})\equiv a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}{\pmod {x-x_{i))))$ $O(\registro(n))$ $f(x)\,{\bmod {\,}}(x-x_{i})$ ${\displaystyle f(x)\,{\bmod {\,)){(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n)))))$

Notas

↑ Alexandre-Théophile Vandermonde Archivado el 5 de enero de 2013 en Wayback Machine (ruso) .
↑ Teoría de Ian Stewart Galois, tercera edición, página 28, Chapman & Hall/CRC Mathematics.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, cap. II, párr. 4, - Fizmatlit, Moscú, 2009.
↑ Computación eficiente con matrices estructuradas y expresiones aritméticas . Consultado el 24 de enero de 2017. Archivado desde el original el 2 de febrero de 2017. (indefinido)
↑ Algoritmos polinómicos . Consultado el 24 de enero de 2017. Archivado desde el original el 10 de enero de 2017. (indefinido)

Literatura

Kurosh A. G. Curso de álgebra superior. - M.: Nauka 1968.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Álgebra lineal. - M.: Ciencia - Fizmatlit, 1999.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, Fizmatlit, Moscú, 2009.