Matriz alternativa

Matriz alternativa [1] [2] ( Matriz alternativa inglesa ) - en álgebra lineal, una matriz de un tipo especial de dimensión , especificada usando elementos y funciones para que cada elemento de la matriz [3] o, en forma expandida: $m\veces n$ $metro$ $\alpha _{1},\alpha _{2},\puntos \alpha _{m}$ $norte$ $f_{1},f_{2},\puntos f_{n}$ $M_{{i,j}}=f_{j}(\alpha _{i})$

M={\begin{bmatrix}f_{1}(\alpha _{1})&f_{2}(\alpha _{1})&\dots &f_{n}(\alpha _{1})\\f_ {1}(\alpha _{2})&f_{2}(\alpha _{2})&\dots &f_{n}(\alpha _{2})\\f_{1}(\alpha _{3 })&f_{2}(\alpha _{3})&\dots &f_{n}(\alpha _{3})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(\ alfa _{m})&f_{2}(\alfa _{m})&\puntos &f_{n}(\alfa _{m})\\\end{bmatriz}}

A veces la matriz alternativa se define en forma transpuesta .

Ejemplos y usos de matrices alternativas

Un caso especial común y frecuente de una matriz alternativa es la matriz de Vandermonde . La matriz alternativa toma esta forma en . (Algunos autores llaman a la matriz de Vandermonde alternativa [4] [5] .) Un caso especial más raro de una matriz alternativa es la matriz de Moore $f_{i}(\alfa)=\alfa^{{i-1}}$ , en el cual . $f_{i}(\alfa)=\alfa^{{q^{{i-1}}}}$

De manera más general, las matrices alternativas se aplican en la teoría de la codificación .

Propiedades de matrices alternativas

Si la matriz alternativa original es cuadrada y si todas las funciones son polinómicas , entonces bajo la condición de que todos los determinantes de la matriz alternativa sean iguales a cero, y por lo tanto es un divisor del determinante de dicha matriz alternativa para cualquier , satisfaciendo la condición . Por lo tanto, el determinante de Vandermonde $f_{j}(x)$ $\alpha _{i}=\alpha _{j}$ $yo<j$ $(\alfa _{j}-\alfa _{i})$ $yo, j$ $1\leq i<j\leq n$

V={\begin{bmatriz}1&\alpha _{1}&\puntos &\alpha _{1}^{{n-1}}\\1&\alpha _{2}&\puntos &\alpha _{2} 2}^{{n-1}}\\1&\alpha _{3}&\dots &\alpha _{3}^{{n-1}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{n}&\puntos &\alpha _{n}^{{n-1}}\\\end{bmatriz}}

igual es también un divisor de los determinantes de tales matrices alternativas. La relación lleva el nombre especial de " bialternante ". $\prod _{{i<j}}(\alpha _{j}-\alpha _{i})$ ${\frac{\det M}{\det V))$

Note también que en el caso cuando , obtenemos la definición clásica de polinomios de Schur . $f_{j}(x)=x^{{m_{j}}}$

Véase también

Literatura

AC Aitken. Determinantes y Matrices. — 9ª edición. - Edimburgo: Oliver and Boyd Ltd, 1956. - S. 111-123. — 144 pág.
Richard P. Stanley. Combinatoria enumerativa. - Cambridge University Press, 1999. - V. 2. - S. 334-342. — ISBN 0521560691 .
Tomás Muir . Un tratado sobre la teoría de los determinantes. - Mineola, NY: Publicaciones de Dover, 2003. - P. 321-363. — 766 pág. — ISBN 0486495531 .

Notas

↑ matriz alterna // Gran diccionario inglés-ruso y ruso-inglés . — 2001. (Ruso)
↑ Matriz alternativa . Multitran.ru. Consultado el 17 de noviembre de 2012. Archivado desde el original el 10 de noviembre de 2014. (indefinido)
↑ AC Aitken. Determinantes y Matrices. — 9ª edición. - Edimburgo: Oliver and Boyd Ltd, 1956. - S. 112. - 144 p.
↑ Hrishikesh D. Vinod. Álgebra matricial práctica usando R: aprendizaje activo y motivado con aplicaciones. - Singapur: World Scientific, 2011. - P. 290. - 329 p. — ISBN 9814313688 .
↑ Marvin Marcus, Henryk Minc. Un estudio de la teoría de matrices y las desigualdades de matrices . - Nueva York: Dover, 1992. - Pág . 15 . — 180 s. — ISBN 048667102X .