Raíz primitiva de la unidad

Una raíz primitiva (o raíz primitiva ) de unidad en un campo es un elemento como para cualquier natural . $metro$ $k$ ${\ estilo de visualización \ xi \ en K}$ ${\ estilo de visualización \ xi ^ {m} = 1}$ ${\ estilo de visualización \ xi ^ {\ ell} \ no = 1}$ ${\ estilo de visualización \ ell <m}$

Si es el campo de los números complejos , entonces las potencias de la raíz primitiva forman un grupo cíclico de raíces de orden a partir de la unidad. $k$ $\xi$ $metro$

Propiedades

Si hay una raíz primitiva del grado en el campo , entonces es coprima con la característica del campo . $k$ $metro$ $metro$ $k$
Un campo algebraicamente cerrado contiene una raíz primitiva de cualquier grado coprimo con la característica del campo.
Si es una raíz primitiva de grado , entonces para cualquier c relativamente primo , el elemento también es una raíz primitiva. De donde, en particular, se sigue que el número de todas las raíces primitivas del grado (cuando existen) es igual al valor de la función de Euler . $\xi$ $metro$ $\ana$ $metro$ ${\ estilo de visualización \ xi ^ {\ ell}}$ $metro$ $\varfi(m)$
En el campo de los números complejos, las raíces primitivas de grado m tienen la forma: $e^{2\pi {i}\ell /m}=\cos {\frac {2\pi \ell}{m))+i\sin {\frac {2\pi \ell}{m }}$ , donde es coprimo con . $\ana$ $metro$

En un campo finito , donde q es una potencia de un número primo , la raíz primitiva del grado es un generador del grupo multiplicativo (cíclico) de este campo y se llama elemento primitivo . $\mathbb {F} _{q}$ ${\ estilo de visualización q-1}$

Literatura

Van der Waerden B. L. Álgebra. Definiciones, teoremas, fórmulas . - San Petersburgo. : Lan, 2004. - 624 p. — ISBN 5-8114-0552-9 . Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
Milne, James S. Teoría algebraica de números . Notas del curso (2014). Consultado el 1 de octubre de 2014. Archivado desde el original el 17 de diciembre de 2014. (indefinido)