Método de Gauss (optimización)

El método de Gauss [1] es un método directo para resolver problemas de optimización multidimensional .

Descripción

Sea necesario encontrar el mínimo de la función de valor real , y sea la aproximación inicial. $f({\vec {x)))\to \min_{({\vec {x}}\in {\mathbb {R}}^{n}}}$ ${\vec{x}}_{0}$

La esencia del método es minimizar la función a lo largo de cada una de las coordenadas en cada iteración, es decir:

{\vec {x}}_{0}^{k+1}={\vec {x}}_{k}

\left\{{\begin{matriz}{rl}{\vec {x}}_{1}^{{k+1}}={\vec {x}}_{0}^{{k+1 }}+\lambda _{1}{\vec {e}}_{1},&\lambda _{1}=\arg \min _({\lambda }}f({\vec {x}}_ {0}^{{k+1}}+\lambda _{1}{\vec {e}}_{1})\\\ldots &\\{\vec {x}}_{n}^{ {k+1}}={\vec {x}}_{{n-1}}^{{k+1}}+\lambda _{n}{\vec {e}}_{n},& \lambda _{n}=\arg \min _{{\lambda }}f({\vec {x}}_{{n-1}}^{{k+1}}+\lambda _{n} {\vec {e}}_{n})\end{matriz}}\right.

donde es una base ortonormal en el espacio bajo consideración. ${\vec {e}}_{1},\ldots,{\vec {e}}_{n}$

Por lo tanto, el método, por así decirlo, "se eleva" a lo largo de las coordenadas, utilizando en los pasos de una iteración para calcular la siguiente coordenada del punto de aproximación todos los valores de coordenadas anteriores calculados en la misma iteración, esta es la similitud con el Método de solución SLAE del mismo nombre .

Al final de una iteración, el punto obtenido en el último paso de esta iteración se toma como la siguiente aproximación:

{\vec {x}}_{{k+1}}={\vec {x}}_{n}^{{k+1}}

El procedimiento continúa hasta que se alcanza la precisión especificada , es decir, hasta que: $\varepsilon$

||{\vec {x}}_{k+1}-{\vec {x}}_{k}||<\varepsilon

Una mejora de este método es el método de descenso de coordenadas de Gauss-Seidel .

Notas

↑ Gauss, Carl Friedrich ( 1777 - 1855 ) - matemático , físico y astrónomo alemán

Literatura

Gill F., Murray W., Wright M. Optimización práctica. Por. De inglés. — M .: Mir, 1985.
Maksimov Yu.A.,Filipovskaya E.A. Algoritmos para la resolución de problemas de programación no lineal. — M. : MEPHI, 1982.

Véase también

Métodos de optimización
unidimensional	método de la sección áurea Dicotomía método de parábola búsqueda de cuadrícula Método de búsqueda de bloque uniforme método fibonacci búsqueda ternaria método Piyavsky Método Strongin
orden cero	método de Gauss Método Nelder-Mead Método Hook-Jeeves método de Rosenbrock metodo powell
Primer orden	descenso de gradiente método Zeutendijk Descenso coordinado método de gradiente conjugado Métodos Cuasi-Newtonianos Algoritmo de Levenberg-Marquardt
segundo orden	método de newton Método de Newton-Raphson Algoritmo de Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)
estocástico	Método de Montecarlo recocido simulado Algoritmos evolutivos evolución diferencial Algoritmo de hormiga método de enjambre de partículas Algoritmo de colonia de abejas Método de paseo aleatorio
Métodos de programación lineal	método símplex algoritmo de gomori método elipsoide método potencial
Métodos de programación no lineal	Programación cuadrática secuencial