Caminata aleatoria

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Una caminata aleatoria es un objeto matemático conocido como proceso estocástico o aleatorio que describe una ruta que consiste en una secuencia de pasos aleatorios en algún espacio matemático (por ejemplo, en el conjunto de números enteros ).

El ejemplo más simple de un paseo aleatorio es un paseo aleatorio a lo largo de la recta numérica de números enteros, que comienza en el punto 0 y se desplaza +1 o −1 en cada paso con igual probabilidad . Otros ejemplos son la trayectoria de una molécula en un líquido o gas ( movimiento browniano ), la búsqueda de caminos en animales durante la búsqueda de alimento , las fluctuaciones en los precios de las acciones en el mercado de valores , la condición financiera de un jugador : todos los casos descritos se pueden aproximar mediante un paseo aleatorio. modelos, a pesar de que pueden no ser completamente aleatorios en la vida real. $\matemáticas {Z}$

Como puede ver en los ejemplos, el modelo de paseo aleatorio se usa en ingeniería y en muchos campos científicos, incluidos la ecología, la psicología, la informática, la física, la química, la biología, la economía y la sociología. El paseo aleatorio explica el comportamiento observado de muchos procesos en estas regiones y, por lo tanto, sirve como modelo fundamental para la actividad estocástica registrada. Entonces, en matemáticas, el valor de π se puede aproximar usando un paseo aleatorio y un modelo basado en agentes. [1] [2] El concepto de paseo aleatorio fue introducido por primera vez por Karl Pearson en 1905. [3]

Los tipos de paseos aleatorios pueden ser de varios tipos de interés. El término en sí se refiere con mayor frecuencia a una categoría especial de cadenas de Markov o procesos de Markov, y muchos procesos dependientes del tiempo se denominan caminatas aleatorias con un modificador que indica sus propiedades especiales. Los paseos aleatorios (de Markov o no) también pueden ocurrir en una variedad de campos: los que se estudian comúnmente incluyen gráficos , la recta numérica de números enteros o reales , espacios vectoriales , superficies curvas , variedades multidimensionales de Riemann y grupos finitos , generados finitamente, grupos de Lie . El parámetro de tiempo también puede ser diferente. En el caso más simple, la caminata se realiza en tiempo discreto y es una secuencia de variables aleatorias ( X
t) = ( X
una, X
2, ...) , indexados por números naturales. Sin embargo, también hay caminatas aleatorias en las que los pasos ocurren en un momento arbitrario en el tiempo, y en este caso la posición X
tdebe definirse para todos los tiempos t ∈ [0,+∞) . Casos especiales de paseo aleatorio son los modelos de vuelo y difusión de Levy , como el movimiento browniano .

El paseo aleatorio es un tema fundamental en las discusiones sobre el proceso de Markov, y su estudio matemático es muy extenso.

Paseo aleatorio en una red

Un modelo bien conocido de caminata aleatoria es una caminata sobre una red regular, donde en cada paso la ubicación se mueve a un punto diferente de acuerdo con una cierta distribución de probabilidad.

En un recorrido aleatorio simple , una ubicación solo puede moverse a los puntos de cuadrícula vecinos, formando una ruta de cuadrícula. En una caminata aleatoria simétrica simple en una red limitada localmente, las probabilidades de que un punto vaya a cada uno de sus vecinos inmediatos son iguales. El ejemplo mejor estudiado es el paseo aleatorio en una red de enteros de dimensión d (a veces llamada red hipercúbica) . [cuatro] ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d))$

Si el espacio de estado está limitado a un número finito de dimensiones, entonces dicho modelo de caminata aleatoria se denomina caminata aleatoria simétrica acotada simple , y las probabilidades de transición dependen de la ubicación del punto, porque el movimiento está limitado en los puntos de frontera y esquina. . [5]

Paseo aleatorio unidimensional

El ejemplo más simple de una caminata aleatoria es una caminata aleatoria a lo largo de la recta numérica de los números enteros , que comienza en el punto 0 y se mueve +1 o −1 con igual probabilidad en cada paso. $\matemáticas {Z}$

Este deambular se puede ilustrar de la siguiente manera. La marca se coloca en el cero de la recta numérica y se lanza una moneda "justa". Si sale cara, la etiqueta se mueve una unidad a la derecha, y si sale cruz, se mueve una unidad a la izquierda. Después de cinco lanzamientos, la marca puede ser -5, -3, -1, 1, 3, 5. Para cinco lanzamientos, incluidos tres caras y dos cruces, en cualquier secuencia, la marca será 1. Hay 10 formas para llegar al punto 1 (haciendo rodar tres caras y dos cruces), 10 formas de llegar al punto −1 (tres cruces y dos caras), 5 formas de llegar al punto 3 (cuatro caras) y una "cruz"), 5 formas de llegar al punto -3 (cuatro "cruces" y un "águila"), 1 forma de llegar al punto 5 (cinco "caras") y 1 forma de llegar al punto -5 (cinco "cruces").") . Los posibles resultados de los cinco lanzamientos se ilustran a continuación.

Para definir formalmente esta caminata, tomamos variables aleatorias independientes , donde cada variable es 1 o −1, con una probabilidad igual al 50% para cada valor, el conjunto y la serie se denominan caminata aleatoria simple . Esta serie (la suma de la secuencia −1 y 1) significa la distancia recorrida si cada parte de la caminata tiene una longitud igual a uno. La expectativa matemática de la serie es cero. Es decir, el valor promedio de todos los lanzamientos de monedas tiende a cero a medida que aumenta el número de lanzamientos. Esto se sigue de la propiedad de aditividad finita de la esperanza: $Z_{1},Z_{2},\puntos$ $S_{0}=0\,\!$ $S_{n}=\sum_{j=1}^{n}Z_{j}.$ ${\ estilo de visualización \ {S_ {n} \} \, \!}$ $\matemáticas {Z}$ ${\ estilo de visualización E (S_ {n}) \, \!}$ ${\ estilo de visualización S_ {n} \, \!}$

E(S_{n})=\sum_{j=1}^{n}E(Z_{j})=0.

Argumentando de manera similar, usamos la independencia de las variables aleatorias y el hecho de que vemos: $E(Z_{n}^{2})=1$

E(S_{n}^{2})=\sum_{i=1}^{n}E(Z_{i}^{2})+2\sum_{1\leq i<j \leq n}E(Z_{i}Z_{j})=n.

Esto deja en claro que , la distancia esperada después de moverse n pasos, debe ser del orden de . De hecho, [6] ${\ estilo de visualización E (| S_ {n} |) \, \!}$ ${\ sqrt n}$

\lim _{n\to \infty }{\frac {E(|S_{n}|)}{\sqrt {n}}}={\sqrt {\frac {2}{\pi }} }.

¿Cuántas veces la caminata aleatoria cruzará el límite si es posible deambular indefinidamente? La caminata aleatoria más simple cruzará cada punto un número infinito de veces. El efecto resultante tiene muchos nombres: el fenómeno de cruce de niveles , la recurrencia o el problema de la ruina del jugador . La razón para dar este último caso al nombre es la siguiente: un jugador con una cantidad finita de dinero perderá tarde o temprano si juega un juego limpio contra un bote con una cantidad ilimitada de dinero. El dinero del jugador es un paseo aleatorio, y en algún momento llegará a cero y el juego terminará. $\matemáticas {Z}$

Sean a y b números enteros positivos, entonces el número esperado de pasos cuando una caminata aleatoria unidimensional simple que comienza en 0 llega primero a b o −a es ab . La probabilidad de que una caminata dada llegue a b antes de llegar a −a es , que se deduce del hecho de que una caminata aleatoria simple es una martingala . ${\ estilo de visualización a/(a+b)}$

Algunos de los resultados mencionados anteriormente se pueden derivar de las propiedades del triángulo de Pascal . El número de todos los paseos distintos sobre n

pasos, donde cada paso es +1 o −1 es igual a 2 n . Para un paseo aleatorio simple, cada uno de estos pasos es equiprobable. Para igualar el número k , es necesario y suficiente que el número de pasos por +1 en la caminata exceda a los de -1 por el número k . Por lo tanto, un paso en +1 debe ocurrir (n + k)/2 veces entre n paseos, por lo tanto, el número de paseos que satisfacen la condición es igual al número de formas de seleccionar (n + k)/2 elementos de un conjunto de n elementos. [7] Esto se denota como . Para que esta expresión tenga sentido, es necesario que la suma n + k sea un número par, lo que significa que los números n y k deben ser pares o impares al mismo tiempo. Por lo tanto, la probabilidad de que será igual a Representando las entradas del triángulo de Pascal en términos de factoriales y utilizando la fórmula de Stirling , se pueden obtener buenas estimaciones de estas probabilidades para valores grandes de . ${\ estilo de visualización S_ {n} \, \!}$ $S_{n}=k$ $n \elegir (n+k)/2$ $S_{n}=k$ ${\displaystyle 2^{-n}{n \elegir (n+k)/2))$ $norte$

Si el espacio está limitado a + por brevedad, entonces el número de formas en que la caminata aleatoria se detiene en algún número después de cinco pasos se puede mostrar como {0,5,0,4,0,1}. $\matemáticas {Z}$

Demostremos esta correspondencia con el triángulo de Pascal para valores pequeños de n . En el paso cero, la única posibilidad es permanecer en cero. Sin embargo, ya en el primer movimiento, existe la posibilidad de terminar en -1 o en 1. En el segundo movimiento, desde 1, puede moverse al punto 2 o volver a cero. Puede pasar de -1 a -2 o volver a cero. Por lo tanto, hay un caso cuando estamos en el punto −2, dos casos cuando estamos en cero y un caso cuando estamos en el punto 2.

k	−5	−4	−3	−2	−1	0	una	2	3	cuatro	5
$P[S_{0}=k]$						una
$2P[S_{1}=k]$					una		una
$2^{2}P[S_{2}=k]$				una		2		una
$2^{3}P[S_{3}=k]$			una		3		3		una
$2^{4}P[S_{4}=k]$		una		cuatro		6		cuatro		una
$2^{5}P[S_{5}=k]$	una		5		diez		diez		5		una

El teorema del límite central y la ley del logaritmo iterado describen aspectos importantes del comportamiento de un paseo aleatorio simple sobre . En particular, a medida que n aumenta, las probabilidades (en proporción a los números de cada fila) tienden hacia una distribución normal . $\matemáticas {Z}$

Los paseos aleatorios en redes cristalinas (gráficos abelianos infinitamente múltiples que cubren gráficos finitos) pueden considerarse una generalización directa. De hecho, bajo tales condiciones es incluso posible afirmar el teorema del límite central y el teorema de la gran desviación. [8] [9]

Como una cadena de Markov

Un paseo aleatorio discreto unidimensional es una cadena de Markov de estado entero cuya distribución inicial está dada por la función de probabilidad de la variable aleatoria y la matriz de probabilidad de transición es $X_{0}$

P\equiv (p_{{ij}})_{{i,j\in {\mathbb {Z}}}}=\left({\begin{matriz}\ddots &\ddots &\ddots &\\&q_ {{-1}}&0&p_{{-1}}&\\&&q_{0}&0&p_{0}\\&&&q_{1}&0&p_{1}\\&&&&\ddots &\ddots &\ddots \end{matriz} }\Correcto)

eso es

p_{{i,i+1}}\equiv {\mathbb {P}}(X_{{n+1}}=i+1\mid X_{n}=i)=p_{i},

p_{{i,i-1}}\equiv {\mathbb {P}}(X_{{n+1}}=i-1\mid X_{n}=i)=q_{i},\quad i \in {\matemáticas {Z}),

p_{{ij}}\equiv {\mathbb {P}}(X_{{n+1}}=j\mid X_{n}=i)=0,\quad |ij|\not =1.

Dimensiones elevadas

En dimensiones superiores, el conjunto de puntos de recorrido aleatorio tiene propiedades geométricas bastante interesantes. De hecho, obtenemos un fractal discreto, es decir, un conjunto que muestra autosimilitud estocástica cuando se acerca. A pequeña escala, puede observar la "irregularidad" en la cuadrícula en la que se realiza la caminata. Los dos libros de Lawler citados son buenas fuentes de material sobre el tema. La trayectoria de una caminata aleatoria es una colección de puntos visitados, considerados como un conjunto hasta el momento en que la caminata llegó al punto. En una dimensión, la trayectoria es simplemente todos los puntos entre la altura mínima y la altura máxima que ha alcanzado el desvío (ambos, en promedio, del orden de ). ${\ sqrt {n}}$

Para visualizar un caso bidimensional, uno puede imaginar a una persona caminando aleatoriamente por la ciudad. Esta ciudad es virtualmente interminable y está dispuesta en una cuadrícula de aceras. En cada intersección, una persona elige al azar una de las cuatro rutas posibles (incluida la de donde vino). Formalmente, se trata de un paseo aleatorio sobre el conjunto de todos los puntos del plano con coordenadas enteras .

¿Volverá alguna vez esta persona al punto de partida del deambular? Este caso es el equivalente 2D del problema de paso a nivel discutido anteriormente. En 1921 , György Pólya demostró que una persona regresaría casi con certeza en el caso de una caminata aleatoria bidimensional, pero para tres dimensiones o más, la probabilidad de regresar disminuye a medida que aumenta el número de dimensiones. En el caso tridimensional, la probabilidad disminuye a alrededor del 34%. [10] El matemático Shizuo Kakutani es famoso por su cita sobre este resultado: "Un borracho tarde o temprano encontrará el camino a casa, pero un pájaro borracho puede perderse para siempre". [once]

Otra versión de esta pregunta, que también hizo Poya, es: si dos personas parten del mismo punto de partida, ¿se encontrarán alguna vez? [12] Se puede razonar que la diferencia entre sus ubicaciones (dos paseos aleatorios independientes) también es un paseo aleatorio simple, por lo que es casi seguro que se encontrarán en un paseo bidimensional, pero para tres dimensiones o más, la probabilidad de retorno es la al igual que en el caso anterior, disminuye al aumentar el número de mediciones. Pal Erdős y Samuel James Taylor también demostraron en 1960 que, para dimensiones menores o iguales a 4, dos recorridos aleatorios independientes, que comienzan en dos puntos dados, casi con certeza tienen un número infinito de intersecciones, pero para dimensiones mayores a 5, casi con certeza solo se cruzan un número finito de veces. [13]

La función asintótica para un paseo aleatorio 2D a medida que aumenta el número de pasos viene dada por la distribución de Rayleigh . La distribución de probabilidad es una función del radio desde el origen, y para cada paso la longitud del paso es constante.

P(r)={\frac {2r}{N}}e^{-r^{2}/N}

Relación con el proceso de Wiener

El proceso de Wiener es un proceso estocástico que es similar en su comportamiento al movimiento browniano , un fenómeno físico de difusión de pequeñas partículas en un líquido. (A veces, un proceso de Wiener se denomina movimiento browniano, aunque estrictamente hablando, un proceso de Wiener es un modelo y un movimiento browniano es un fenómeno modelado).

El proceso de Wiener es el límite escalable de un paseo aleatorio unidimensional. Esto significa que si realiza una caminata aleatoria con pasos muy pequeños, puede obtener una aproximación al proceso de Wiener (y, con menos precisión, al movimiento browniano). Más precisamente, si la longitud del paso es ε, se debe realizar una caminata de longitud L / ε 2 para aproximar el camino de Wiener L . A medida que la longitud del paso se acerca a cero (y el número de pasos aumenta proporcionalmente), la caminata aleatoria cubre el proceso de Wiener en un sentido apropiado. Formalmente, si B es el espacio de todos los caminos de longitud L con la topología máxima, y si M es el espacio de medidas sobre B con la topología normal, entonces la convergencia está en el espacio M. Por analogía, un proceso de Wiener en múltiples dimensiones es el límite escalable de una caminata aleatoria en el mismo número de dimensiones.

Un paseo aleatorio es un fractal discreto (una función con un número entero de dimensiones: 1, 2, ...), mientras que la trayectoria del proceso de Wiener es un fractal real, y existe una cierta conexión entre los dos. Por ejemplo, demos un paseo aleatorio y "caminaremos" hasta pasar un círculo de radio r veces la longitud del paso. Entonces el número promedio de pasos requeridos para completar la caminata será igual a r 2 . Este hecho es una versión discreta del hecho de que el proceso de Wiener es un fractal de dimensión 2 de Hausdorff .

En el espacio bidimensional, el número promedio de puntos por los que pasa una caminata aleatoria en el límite de su trayectoria es r 4/3 . Esto es consistente con el hecho de que el límite de la trayectoria de un proceso de Wiener es un fractal 4/3, lo cual fue sugerido por Mandelbrot mediante el uso de simulaciones, pero Lawler, Schramm y Werner no lo probaron hasta el año 2000 . [catorce]

El proceso de Wiener tiene muchas simetrías a diferencia del paseo aleatorio. Por ejemplo, el recorrido de un proceso de Wiener es invariante en rotación, pero un recorrido aleatorio no lo es, porque su cuadrícula no es invariante en rotación (el recorrido aleatorio es invariante en rotación en 90 grados, mientras que los procesos de Wiener son invariantes en rotación, digamos, otros 17 grados). ). Esto significa que, en muchos casos, los problemas dados en una caminata aleatoria son más fáciles de resolver de la siguiente manera: transfiera el problema al proceso de Wiener, resuelva el problema allí y luego vuelva a transferirlo. Por otro lado, algunos problemas son más fáciles de resolver en un paseo aleatorio debido a su naturaleza discreta.

La convergencia de un camino aleatorio a un proceso de Wiener se realiza mediante el teorema del límite central y el teorema de Donsker. Para una partícula en una posición fija conocida en t = 0, el teorema del límite central nos dice que después de un gran número de pasos de caminata aleatoria independientes, la posición del vagabundo se distribuirá de acuerdo con la distribución de varianza normal :

\sigma ^{2}={\frac {t}{\delta t}}\,\varepsilon^{2},

donde t es el tiempo transcurrido desde el inicio de la caminata aleatoria, es el tamaño del paso de la caminata y es el tiempo transcurrido entre dos pasos sucesivos. $\varepsilon$ $\ delta t$

Este caso corresponde a la función de Green de la ecuación de difusión , que describe el proceso de Wiener, lo que sugiere que después de un número suficientemente grande de pasos, la caminata aleatoria converge al proceso de Wiener.

En el caso 3D, la varianza correspondiente a la función de Green de la ecuación de difusión es:

{\ estilo de visualización \ sigma ^ {2} = 6 \, D \, t.}

Igualando este valor con la varianza asociada a la posición del caminante aleatorio, se puede obtener el coeficiente de difusión equivalente, considerado para un proceso asintótico de Wiener al que converge el paseo aleatorio después de un número suficientemente grande de pasos:

D={\frac {\varepsilon^{2}}{6\delta t}}

(solo tiene sentido en el caso de tres dimensiones).

Nota: Las dos expresiones de varianza anteriores corresponden a una distribución asociada con un vector que conecta los dos extremos de una caminata aleatoria en tres dimensiones. La diferencia asociada con cada componente, o , es solo un tercio del valor total (aún en 3D). $\ vec R$ $R_{x}$ $R_{y}$ $R_{z}$

Para 2D: [15]

D={\frac {\varepsilon^{2}}{4\delta t}}.

Para 1D: [16]

D={\frac {\varepsilon^{2}}{2\delta t}}.

Teorema de Donsker

Considere una caminata aleatoria , donde . $Y_{n}=\sum \limits _{{i=1}}^{{n}}{X_{i}}$ $EX_{i}=0,DX_{i}=\sigma ^{2}<\infty$

El teorema del límite central establece que por distribución en . ${\frac {Y_{n}}{\sigma {\sqrt {n}}}}\rightarrow N(0,1)$ $n\rightarrow\infty$

Sin embargo, para paseos aleatorios esta afirmación puede reforzarse significativamente.

Construimos un proceso aleatorio con respecto a , definiéndolo de la siguiente manera: , y para el resto, definimos el proceso por una continuación lineal: $Y_{n}$ $S_{n}(t),t\en [0,1]$ $S_{n}\left({\frac {k}{n}}\right)={\frac {Y_{{k}}}{\sigma {\sqrt {n}}}}$ $t$

$S_{n}(t)=(k+1-nt)S_{n}\left({\frac {k}{n}}\right)+(nt-k)S_{n}\left({\ fracción {k+1}{n}}\derecha),t\in \left({\frac {k}{n));{\frac {k+1}{n}}\derecha)$

Del teorema del límite central sobre la distribución para $\ para todo t$ ${\ estilo de visualización S_ {n} (t) \ flecha derecha N (0, t)}$ $n\rightarrow\infty$

Esto significa la convergencia de las distribuciones unidimensionales del proceso a las distribuciones unidimensionales del proceso de Wiener . El teorema de Donsker, también llamado principio de invariancia, establece que existe una débil convergencia de procesos, $S_{n}(t)$ $S_{n}(t)\rightarrow W(t),n\rightarrow \infty$

La convergencia débil de procesos significa la convergencia de funcionales que son continuas con respecto a la medida de Wiener, es decir, permite calcular los valores de los funcionales a partir del movimiento browniano (por ejemplo, máximo, mínimo, último cero, el momento del primer alcance). el nivel, y otros) pasando al límite a partir de un simple paseo aleatorio.

Paseo aleatorio gaussiano

Una caminata aleatoria con una longitud de paso que varía con una distribución normal se usa como datos de series temporales del mundo real, como los mercados financieros. La fórmula Black-Schools , por ejemplo, utiliza un paseo aleatorio gaussiano como suposición subyacente.

En este caso, el tamaño del paso es la distribución normal acumulativa inversa donde 0 ≤ z ≤ 1 y es un número aleatorio distribuido uniformemente, y μ y σ son la media y la desviación estándar de la distribución normal, respectivamente. ${\ estilo de visualización \ Phi ^ {-1} (z, \ mu, \ sigma)}$

Si μ no es cero, la caminata aleatoria seguirá una tendencia lineal. Si v s es el valor inicial de la caminata aleatoria, entonces el valor esperado después de n pasos es v s + n μ.

Para el caso especial donde μ es cero, después de n pasos, la distribución de probabilidad de la distancia recorrida se define como N (0, n σ 2 ), donde N () es la notación de la distribución normal, n es el número de pasos , y σ se toma de la distribución normal acumulativa inversa anterior.

Prueba: un paseo aleatorio gaussiano se puede representar como la suma de una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, Xi de una distribución normal acumulativa inversa, donde la media es cero y σ se toma de la distribución normal acumulativa inversa original:

Z = ,

{\ estilo de visualización \ suma _ {i = 0} ^ {n} {X_ {i}}}

pero tenemos una distribución para la suma de dos variables aleatorias independientes normalmente distribuidas, Z = X + Y, obtenida gracias a

\mathcal{N}

(μ X + μ Y , σ 2 X + σ 2 Y )

En nuestro caso, μ X = μ Y = 0 y σ 2 X = σ 2 Y = σ 2 dan:

\mathcal{N}

(0, 2σ 2 )

Por inducción, para n pasos tenemos:

Z ~ (0, n σ 2 ).

\mathcal{N}

Para pasos distribuidos de acuerdo con cualquier distribución con media cero y varianza finita (no necesariamente solo una distribución normal), la raíz cuadrada media de la distancia recorrida después de n pasos viene dada por:

{\sqrt {E|S_{n}^{2}|}}=\sigma {\sqrt {n)).

Pero para una caminata aleatoria gaussiana, esta es solo la desviación estándar de la distribución de la distancia recorrida después de n pasos. Por lo tanto, si μ es cero y si la distancia rms recorrida es una desviación estándar, hay un 68,27 % de posibilidades de que la distancia rms recorrida después de n pasos esté entre ± σ . Además, existe un 50% de probabilidad de que la distancia recorrida después de n pasos esté entre ± 0.6745σ . ${\ sqrt {n}}$ ${\ sqrt {n}}$

Difusión anómala

En sistemas desordenados, como los medios porosos y los fractales, puede ser proporcional no a , sino a . El exponente se denomina exponente de difusión anómala y puede ser mayor o menor que 2. [17] La difusión anómala también se puede expresar como σ r 2 ~ Dt α donde α es el parámetro de anomalía. Algunas difusiones en un entorno aleatorio son incluso proporcionales a la potencia del logaritmo del tiempo, como la caminata de Sinaí o la difusión de Brox. $\sigma^{2}$ $t$ $t^{2/d_{w))$ $d_{w}$

Número de ubicaciones diferentes

La cantidad de ubicaciones distintas visitadas por un solo caminante aleatorio se ha estudiado ampliamente para redes y fractales cuadrados y cúbicos. [18] [19] Este valor es útil para analizar problemas de puntos muertos ( trapping en inglés ) y reacciones cinéticas. También está relacionado con la densidad vibratoria de los estados, [20] [21] las reacciones de difusión de los procesos [22] y la distribución de las poblaciones en ecología. [23] [24] Recientemente se ha estudiado una generalización de este problema al número de lugares distintos visitados por caminantes aleatorios, denotados como , para redes euclidianas d -dimensionales. [25] El número de lugares diferentes visitados por N caminantes no está simplemente relacionado con el número de lugares diferentes visitados por cada caminante. $S t)$ $norte$ ${\ estilo de visualización S_ {N} (t)}$

Estimación de la cantidad de información

Estimación de la cantidad de información de un paseo aleatorio gaussiano con respecto al cuadrado de la distancia de error, es decir, su función de distorsión cuadrática, dada paramétricamente: [26]

R(D_{\theta })={\frac {1}{2}}\int_{0}^{1}\max\{0,\log_{2}\left(S(\ varphi )/\theta \right)\}\,d\varphi ,

D_{\theta }=\int _{0}^{1}\min\{S(\varphi ),\theta \}\,d\varphi ,

donde _ Por lo tanto, no es posible codificar en binario con menos bits y luego decodificar con un error RMS esperado menor a . Por otro lado, para cualquier , hay un código binario lo suficientemente grande con no más de elementos, de modo que el error cuadrático medio esperado al recuperarse de este código no es más que . ${\displaystyle S(\varphi)=\left(2\sin(\pi \varphi /2)\right)^{-2))$ ${\{Z_{n}\}_{n=1}^{N))$ $NR(D_{\theta })$ ${\ Displaystyle D_ {\ theta}}$ $\varepsilon >0$ $N\en \mathbb {N}$ ${\displaystyle 2^{NR(D_{\theta )))))$ ${\{Z_{n}\}_{n=1}^{N))$ $D_{\theta }-\varepsilon$

Aplicaciones

Como ya se mencionó, la gama de fenómenos naturales que algunas variedades de recorridos aleatorios han tratado de describir es significativa. En particular, en física, [27] [28] química, [29] ciencia de los materiales , [30] [31] biología [32] y otras ciencias diversas. [33] [34] Aquí hay algunas aplicaciones de la caminata aleatoria:

En economía financiera, la "hipótesis del paseo aleatorio" se utiliza para modelar los precios de las acciones y otros factores. Pero los estudios empíricos han encontrado discrepancias con el modelo teórico, especialmente en las relaciones de corto y largo plazo.
En genética de poblaciones , el paseo aleatorio describe las propiedades estadísticas de la deriva genética .
En física , los paseos aleatorios se utilizan como modelos simplificados de movimiento y difusión brownianos , como el movimiento aleatorio de moléculas en líquidos y gases. Por ejemplo, agregación difusamente limitada. También en física, los paseos aleatorios y algunos de los paseos de interacción propia juegan un papel importante en la teoría cuántica de campos .
En ecología matemática, los paseos aleatorios se utilizan para describir los movimientos individuales de los animales, para respaldar empíricamente los procesos de biodifusión y, a veces, para modelar la dinámica de la población .
En física de polímeros , un paseo aleatorio describe una cadena ideal, el modelo más simple para estudiar polímeros . [35]
En otras áreas de las matemáticas, la caminata aleatoria se usa para encontrar soluciones a la ecuación de Laplace , para estimar la medida armónica y para varias construcciones en análisis y combinatoria .
En informática , se utilizan recorridos aleatorios para estimar el tamaño de Internet . [36]
En la segmentación de imágenes , se utilizan recorridos aleatorios para determinar etiquetas (como "objeto" o "fondo") para asociar con cada píxel. [37] Este algoritmo se conoce comúnmente como el algoritmo de segmentación de "caminante aleatorio".

En todos estos casos, la caminata aleatoria a menudo se reemplaza por el movimiento browniano:

En la investigación del cerebro , se utilizan caminatas aleatorias para modelar cascadas de activación neuronal.
En la ciencia de la visión, la deriva ocular tiende a comportarse como un paseo aleatorio. [38] Según algunos autores, los movimientos oculares fijos generalmente también se describen como un paseo aleatorio. [39]
En psicología , los paseos aleatorios explican con precisión la relación entre el tiempo que se tarda en tomar una decisión y la probabilidad de que se tome una determinada decisión. [40]
Los paseos aleatorios se pueden utilizar para tomar muestras de un espacio de estado que es muy grande o desconocido, como para seleccionar una página aleatoria en Internet o para investigar las condiciones de trabajo de un trabajador aleatorio en un país determinado.

Cuando se usa en informática, el último enfoque se conoce como cadena de Markov Monte Carlo (MCMC). A menudo, el muestreo de algún espacio de estado complejo también proporciona una estimación probabilística del tamaño del espacio. Estimar la permanente de una gran matriz de ceros y unos fue el primer gran problema asociado con el uso de este enfoque.

Las caminatas aleatorias se utilizan a menudo para muestrear gráficos masivos en línea, como las redes sociales .
En las redes informáticas inalámbricas , el paseo aleatorio se utiliza para modelar el movimiento de un nodo.
Las bacterias móviles realizan caminatas aleatorias sesgadas . [41]
Los paseos aleatorios se utilizan para modelar los juegos de azar .
En física, los paseos aleatorios están en el corazón del método de estimación de Fermi.
Twitter utiliza caminatas aleatorias para sugerir a quién podría valer la pena seguir [42]
Dave Byer y Percy Diaconis demostraron que 7 barajes son suficientes para barajar un mazo de cartas (consulte la sección Barajar para obtener más información ). Este resultado se traduce en una afirmación sobre un paseo aleatorio en un grupo simétrico, que es lo que prueban, con un uso decisivo de la estructura del grupo mediante el análisis de Fourier.
Con el uso de paseos aleatorios, es posible organizar la trayectoria de movimiento en el espacio de parámetros de la función objetivo optimizada , que se utiliza en la resolución de problemas de optimización [43] . Cuando se utiliza una ley especial de distribución de variables aleatorias se puede obtener una modificación del de paseo aleatorio, llamado vuelos de Levy
Usando paseos aleatorios, uno puede resolver el problema del valor límite para las ecuaciones de Maxwell en forma integral. La integral se calcula usando el método de Monte Carlo, mientras que el integrando se muestrea usando un paseo aleatorio. Por lo tanto, es posible encontrar las capacitancias mutuas de los conductores en circuitos integrados, pasando por alto los requisitos de los métodos de elementos finitos y de contorno para la discretización espacial, lo que juega un papel decisivo en la elección de un método, teniendo en cuenta el aumento en el número de puertas en circuitos integrados modernos. A diferencia de los métodos de elementos finitos y de límite, el método de recorrido aleatorio encuentra inmediatamente la integral del campo, y no el campo en cada punto, que luego se integra para encontrar la capacidad. [44] Los métodos de caminata aleatoria se convirtieron en el estándar de facto a principios del siglo XXI para encontrar capacitancias parásitas en circuitos integrados.
Se utiliza para resolver la ecuación de transferencia de radiación óptica en un medio utilizando el método Monte Carlo.h*

Opciones

Se ha descubierto que varios tipos de procesos aleatorios son similares a los paseos aleatorios puros, pero en los que la estructura simple puede generalizarse más. Una estructura pura se puede caracterizar por pasos definidos por variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas .

En gráficos

Una caminata aleatoria de longitud k en un gráfico G posiblemente infinito con raíz 0 es un proceso estocástico con variables aleatorias tales que , y este es un vértice uniformemente elegido aleatoriamente entre vecinos . Entonces el número es la probabilidad de que una caminata aleatoria de longitud k comience en v y termine en w . En particular, si G es un gráfico con raíz en 0 , es la probabilidad de que la caminata aleatoria paso a paso regrese a 0 . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\puntos,X_{k))$ ${\ estilo de visualización X_ {1} = 0}$ ${\ estilo de visualización {X_ {i + 1}}}$ $X_{yo}$ ${\ Displaystyle p_ {v, w, k} (G)}$ ${\ Displaystyle p_ {0,0,2k}}$ $2k$

Por analogía con el apartado anterior (dimensiones aumentadas), supongamos que ahora nuestra ciudad ya no es una cuadrícula perfecta. Cuando nuestra persona llega a un determinado cruce, elige con igual probabilidad entre diferentes caminos disponibles. Por lo tanto, si hay siete salidas en la intersección, una persona irá a cada una con una probabilidad de un séptimo. Por lo tanto, obtenemos un paseo aleatorio en el gráfico. ¿Llegará nuestro hombre a su casa? Resulta que, en condiciones bastante buenas, la respuesta sigue siendo sí, [45] pero, según el gráfico, para la siguiente pregunta ('¿Se encontrarán dos personas?') la respuesta "infinitamente a menudo" ya no puede ser casi una cierto evento. [46]

Un ejemplo en el que es casi seguro que una persona llegará a la casa es cuando las longitudes de todos los bloques están en el rango de a a b (donde a y b son dos números positivos finitos). Importante: no asumimos que el grafo es plano , es decir, pueden existir túneles y puentes en la ciudad. Una forma de probar este resultado es conectándose a redes eléctricas . Tome un mapa de la ciudad y coloque una resistencia de 1 ohm en cada bloque. Ahora vamos a medir la "resistencia entre el punto y el infinito". En otras palabras, elijamos algún número R y tomemos todos los puntos de la red eléctrica con una distancia entre ellos y nuestro punto mayor que R, y conéctelos entre sí. Obtenemos una red eléctrica finita en la que podemos medir la resistencia entre nuestro punto y otros puntos de la red. Sea R que tienda a infinito. El límite resultante se llama resistencia entre el punto y el infinito .

Resulta que la siguiente conjetura es verdadera (una prueba elemental se puede encontrar en el libro de Doyle y Snell):

Teorema : Un grafo es transitorio si y solo si la resistencia entre el punto y el infinito es finita. Además, la elección de un punto no es importante si la gráfica es conexa.

En otras palabras, en un sistema transitorio, solo se necesita superar una resistencia finita para alcanzar el infinito desde cualquier punto. En un sistema recurrente, la resistencia entre cualquier punto e infinito es infinita.

Un paseo aleatorio en un gráfico es un caso especial de una cadena de Markov . A diferencia de una cadena de Markov general, una caminata aleatoria en un gráfico tiene una propiedad llamada simetría temporal o reversibilidad . En términos generales, esta propiedad, también llamada principio de equilibrio detallado , significa que las probabilidades de cruzar un camino dado en una dirección u otra tienen una relación muy simple entre ellas (si la gráfica es regular , entonces son iguales). Esta propiedad tiene implicaciones importantes.

Desde la década de 1980, se han realizado muchas investigaciones para relacionar las propiedades de los gráficos con los paseos aleatorios. Además de la red eléctrica descrita anteriormente, también hay conexiones con desigualdades isoperimétricas, desigualdades funcionales como las desigualdades de Sobolev y Poincaré , y con las propiedades de las soluciones de la ecuación de Laplace . Gran parte de esta investigación se ha centrado en los gráficos de Cayley de grupos generados finitamente. En muchos casos, estos resultados discretos se trasladan o se derivan de variedades y grupos de Lie .

Hablando de grafos aleatorios , en particular del modelo de Erdős-Rényi , se han obtenido resultados analíticos para algunas propiedades de los caminantes aleatorios. Incluyen la distribución de los primeros [47] y últimos [48] hits (ing. hit time) del caminante, donde el primer hit es la primera vez que el caminante pisa por primera vez un lugar visitado previamente, y el último coincide con el caso de que el caminante no tenga adónde ir, salvo el lugar visitado previamente.

Una buena referencia para una caminata aleatoria en un gráfico es este libro en línea. Para el estudio de los grupos son adecuados los libros de Wöss. Si el kernel de transición en sí es aleatorio (basado en el entorno ), entonces la caminata aleatoria se denomina "caminata aleatoria en un entorno aleatorio". Cuando la ley del paseo aleatorio incluye la aleatoriedad , la ley se denomina recocida (ing. recocido ); por otro lado, si se considera fija, la ley se llama templada (eng. apagada ). $p(x, y)$ $\omega$ $\omega$ $\omega$

Podemos elegir cada borde posible del gráfico con la misma probabilidad que el máximo local de incertidumbre (entropía). También podemos hacer esto globalmente: en un paseo aleatorio de máxima entropía (eng. paseo aleatorio de máxima entropía, MERW ) es necesario que todos los caminos sean igualmente probables o, en otras palabras, para dos vértices cualesquiera, cada camino de una longitud dada es igualmente probable. [49] Tal caminata tiene propiedades localizadoras mucho más fuertes.

Caminatas aleatorias auto-interactivas

Hay un tipo separado de paseo aleatorio en el que cada paso depende del anterior de alguna manera compleja. Son más difíciles de resolver analíticamente que los paseos aleatorios ordinarios; sin embargo, el comportamiento de cualquier modelo de caminante aleatorio se puede obtener usando computadoras. Por ejemplo:

Deambulación autoevitable. [cincuenta]

Una caminata autoevitable de longitud n es una ruta aleatoria de longitud n pasos, que comienza en el origen, que solo pasa por puntos vecinos en y nunca pasa por el mismo punto dos veces. En el caso bidimensional, dicho camino suele ser muy corto [51] , mientras que en la dimensión elevada crece sin límite. Este modelo se usa a menudo en la física de polímeros (desde la década de 1960). ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d))$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d))$

Paseo aleatorio con borrado de ciclo. [52] [53]
Caminata aleatoria reforzada. [54]
Proceso de investigación.
Caminata aleatoria multiagente. [55]

Caminatas correlacionadas a largo plazo

Las series de tiempo correlacionadas a largo plazo se encuentran en muchos sistemas biológicos, climatológicos y económicos:

Grabación de latidos [56]
Secuencias de ADN no codificantes [57]
Series temporales de volatilidad bursátil [58]
Récords de temperatura en todo el mundo [59]

Correlación de paseos aleatorios

Paseos aleatorios en los que la dirección del movimiento en un punto en el tiempo se correlaciona con la dirección del movimiento en el siguiente punto en el tiempo. Se utiliza para simular el movimiento de los animales. [60] [61]

Véase también

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Enlaces

Constantes de paseo aleatorio de Polya
Random walk in Java Applet Archivado el 31 de agosto de 2007 en Wayback Machine .
Paseo aleatorio cuántico
Estimador de paseo aleatorio gaussiano
Modelos de conductancia de electrones usando recorridos aleatorios de entropía máxima Wolfram Demonstrations Project

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En catálogos bibliográficos	BNF : 119358404 J9U : 987007563128805171 LCCN : sh85111357 NDL : 00571555