Dicotomía

La dicotomía ( del griego διχοτομία : δῐχῆ , “en dos” + τομή , “división”) es una bifurcación , una división consistente en dos partes, más conectadas por dentro que entre sí. Un método de división lógica de una clase en subclases, que consiste en el hecho de que el concepto divisible se divide completamente en dos conceptos mutuamente excluyentes. La división dicotómica en matemáticas , filosofía , lógica y lingüística es una forma de formar subsecciones de un concepto o término y sirve para formar una clasificación de elementos.

Ventajas y desventajas

La división dicotómica es atractiva por su sencillez. De hecho, en una dicotomía siempre tratamos solo con dos clases, que agotan el alcance del concepto divisible. Así, la división dicotómica es siempre proporcionada; los miembros de división se complementan entre sí, ya que cada objeto del conjunto divisible cae en una sola de las clases a o no a ; la división se lleva a cabo sobre una base: la presencia o ausencia de algún signo. Denotando el concepto divisible con la letra a y resaltando en su volumen un cierto tipo, digamos, b , podemos dividir el volumen a en dos partes: b y no b .

La división dicotómica tiene un inconveniente: al dividir el ámbito de un concepto en dos conceptos, cada vez queda sumamente indefinida aquella parte del mismo a la que pertenece la partícula “no”. Si los científicos se dividen en historiadores y no historiadores , entonces el segundo grupo es muy confuso. Además, si al principio de una división dicotómica suele ser bastante fácil establecer la presencia de un concepto contradictorio, a medida que te alejas del primer par de conceptos, se vuelve cada vez más difícil encontrarlo.

Aplicación

La dicotomía suele utilizarse como ayuda para establecer una clasificación.

También es conocido por un método de búsqueda bastante utilizado, el llamado método de dicotomía . Se utiliza para encontrar los valores de una función de valor real determinada por algún criterio (esto puede ser una comparación para un mínimo , un máximo o un número específico). Consideremos el método de dicotomía de optimización unidimensional condicional (para la definición de minimización).

Método de dicotomía

El método de la dicotomía es algo similar al método de la bisección , pero se diferencia de éste en el criterio de descartar los extremos.

Sea dada una función . $f(x):\;[a,\;b]\to \mathrm {R} ,\;f(x)\in \mathrm {C} ([a,\;b])$

Dividamos el segmento dado mentalmente por la mitad y tomemos dos puntos simétricos con respecto al centro y de modo que: $x_{1}$ $x_{2}$

{\begin{matriz}{ccc}x_{1}&=&{\frac {a+b}{2}}-\delta,\\x_{2}&=&{\frac {a+ b {2}}+\delta ,\end{matriz}}

donde está algún número en el intervalo . $\delta$ $\left(0,\;{\frac {ba}{2))\right)$

Calculemos dos valores de función en dos nuevos puntos. Por comparación, determinamos en cuál de los dos nuevos puntos el valor de la función es máximo. Descartamos el final del segmento original, al que resultó estar más cerca el punto con el valor máximo de la función (recuerde, estamos buscando un mínimo ), es decir: $f(x)$ $f(x)$

Si , entonces se toma el segmento y se descarta el segmento. $f(x_{1})>f(x_{2})$ ${\ estilo de visualización [x_{1}, \; b]}$ ${\ estilo de visualización [a, \; x_ {1}]}$
De lo contrario, se toma un segmento que está reflejado en relación con el medio y se descarta . ${\ estilo de visualización [a, \; x_ {2}]}$ ${\ estilo de visualización [x_{2}, \; b]}$

El procedimiento se repite hasta que se alcanza la precisión especificada, por ejemplo, hasta que la longitud del segmento alcanza el doble del valor del error especificado.

En cada iteración, se deben calcular nuevos puntos. Es posible asegurar que en la próxima iteración sea necesario calcular solo un punto nuevo, lo que contribuiría significativamente a la optimización del procedimiento. Esto se logra mediante la división especular del segmento en la sección áurea , en este sentido , el método de la sección áurea puede considerarse como una mejora del método de dicotomía con el parámetro , donde está la sección áurea . $\delta =(ba)\left({\frac {1}{\Phi }}-{\frac {1}{2}}\right)$ $\Phi \!={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1{,}6180339887\dots$

Véase también

Literatura

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Maksimov Yu. A., Filippovskaya EA Algoritmos para resolver problemas de programación no lineal. — M. : MEPHI, 1982.
Maksimov Yu. A. Algoritmos de programación lineal y discreta. — M. : MEPhI, 1980.

Métodos de optimización
unidimensional	método de la sección áurea Dicotomía método de parábola búsqueda de cuadrícula Método de búsqueda de bloque uniforme método fibonacci búsqueda ternaria método Piyavsky Método Strongin
orden cero	método de Gauss Método Nelder-Mead Método Hook-Jeeves método de Rosenbrock Método Powell
Primer orden	descenso de gradiente método Zeutendijk Descenso coordinado método de gradiente conjugado Métodos Cuasi-Newtonianos Algoritmo de Levenberg-Marquardt
segundo orden	método de newton Método de Newton-Raphson Algoritmo de Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)
estocástico	Método de Montecarlo recocido simulado Algoritmos evolutivos evolución diferencial Algoritmo de hormiga método de enjambre de partículas Algoritmo de colonia de abejas Método de paseo aleatorio
Métodos de programación lineal	método símplex algoritmo de gomori método elipsoide método potencial
Métodos de programación no lineal	Programación cuadrática secuencial