Método frobenius

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En matemáticas , el método de Frobenius , llamado así por Ferdinand Georg Frobenius , es una forma de encontrar una serie infinita que sería una solución a una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden [1] de la forma

z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0,

dónde

u'\equiv {{du} \over {dz))

{\displaystyle u''\equiv {{d^{2}u} \over {dz^{2))))

en una vecindad de un punto singular regular . La ecuación se puede dividir por para obtener una ecuación diferencial de la forma $z=0$ $z^{2}$

u''+{p(z) \sobre z}u'+{q(z) \sobre z^{2}}u=0,

que no se puede resolver con métodos convencionales de series de potencias si p ( z )/ z o q ( z )/ z 2 no son analíticos en z = 0. El método de Frobenius permite encontrar la solución de tal ecuación diferencial en la forma de serie de potencias, siempre que p ( z ) y q ( z ) sean ellas mismas analíticas en 0 o, siendo analíticas en cualquier otro lugar, haya un límite finito en el punto mismo. [2]

Explicación

El método de Frobenius nos dice que podemos buscar una solución en serie de potencias

u(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r},\qquad (A_{0}\neq 0).

Diferenciando esta serie:

u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty}(k+r)A_{k}z^{k+r-1},

u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty}(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2},

y sustituyendo en la ecuación original, obtenemos:

z^{2}\sum_{k=0}^{\infty}(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z )\sum_{k=0}^{\infty}(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum_{k=0}^{\infty} A_{k}z^{k+r}=

=\sum _{k=0}^{\infty}(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)\sum_k =0}^{\infty}(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)\sum_{k=0}^{\infty}A_{k}z^{k +r}=

=\sum_{k=0}^{\infty}[(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)(k+r )A_{k}z^{k+r}+q(z)A_{k}z^{k+r}]=

=\sum_{k=0}^{\infty}\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right] A_{k}z^{k+r}=

=\left[r(r-1)+p(z)r+q(z)\right]A_{0}z^{r}+\sum_{k=1}^{\infty} \left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}.

Expresión

r\left(r-1\right)+p\left(0\right)r+q\left(0\right)=I(r)

conocido como polinomio definitorio , es cuadrático en r . En general, el polinomio definidor es el exponente más pequeño de z en una serie infinita. En este caso resulta ser el coeficiente r -ésimo , pero también es posible que la potencia más baja tenga un exponente de r − 2, r − 1, o lo que sea, dependiendo de la ecuación diferencial dada. Durante el proceso de sincronización, todas las series de la ecuación diferencial comienzan con el mismo valor de índice (para la expresión anterior, k = 1), pero eventualmente se pueden obtener expresiones complejas. Sin embargo, al encontrar raíces definitorias, la atención solo se enfoca en el coeficiente de bajo grado z .

De esto se deduce que la expresión general para el coeficiente z k+r

I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(kj)}(0)+q^{(kj )}(0) \sobre (kj)!}A_{j}.

Estos coeficientes deben ser cero ya que son soluciones de ecuaciones diferenciales, por lo que

I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(kj)}(0)+q^{(kj )}(0) \sobre (kj)!}A_{j}=0,

\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(kj)}(0)+q^{(kj)}(0) \over (kj)! }A_{j}=-I(k+r)A_{k},

{1 \over -I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(kj)}(0)+q^{( kj)}(0) \sobre (kj)!}A_{j}=A_{k}.

Solución serie con A k arriba,

{\displaystyle U_{r}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}A_{k}z^{k+r))

satisface

z^{2}U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{ r}.

Si elegimos una de las raíces del polinomio definitorio r en U r ( z ), obtenemos la solución de la ecuación diferencial. Si la diferencia entre las raíces no es un número entero, obtendremos una solución diferente, linealmente independiente, para la otra raíz.

Ejemplo

Como ejemplo, considere la ecuación

z^{2}f''-zf'+(1-z)f=0.

Divida por z 2 para obtener

f''-{1 \over z}f'+{1-z \over z^{2}}f=f''-{1 \over z}f'+\left({1 \over z^{2}}-{1 \sobre z}\derecha)f=0,

que tiene las singularidades necesarias en z = 0.

Buscamos una solución en forma de serie

{\begin{alineado}f&=\sum_{k=0}^{\infty}A_{k}z^{k+r};\\f'&=\sum_{k=0} ^{\infty}(k+r)A_{k}z^{k+r-1},\\f''&=\sum_{k=0}^{\infty}(k+r)( k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}.\end{alineado}}

Ahora, sustituyendo la serie y sus derivadas en la ecuación, obtenemos:

{\begin{alineado}\sum_k=0}^{\infty}&(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{ \frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty}(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+\left({\frac {1} {z^{2}}}-{\frac {1}{z}}\right)\sum_{k=0}^{\infty}A_{k}z^{k+r}=\\& =\sum_{k=0}^{\infty}(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z)) \sum _{k=0}^{\infty}(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+{\frac {1}{z^{2))}\sum_{ k=0}^{\infty}A_{k}z^{k+r}-{\frac {1}{z}}\sum_{k=0}^{\infty}A_{k}z^ {k+r}=\\&=\sum_{k=0}^{\infty}(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\ suma_{k=0}^{\infty}(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum_{k=0}^{\infty}A_{k}z^ {k+r-2}-\sum_{k=0}^{\infty}A_{k}z^{k+r-1}=\\&=\sum_{k=0}^{\ infinito }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k} z^{k+r-2}+\sum_{k=0}^{\infty}A_{k}z^{k+r-2}-\sum_{k-1=0}^{\ infty }A_{k-1}z^{k-1+r-1}=\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_ {k}z^{k+r-2}-\sum_{k=0}^{\infty}(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum_{k =0}^{\infty}A_{k}z^{k+r-2}-\sum_{k=1}^{\infty}A_{k-1}z^{k+r-2} =\\&=\left\{\sum _{k=0}^{\infty}\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{ k}z^{k+  r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty}A_{k-1}z^{k+r-2}=\\&=\left\{\left(r (r-1)-r+1\right)A_{0}z^{r-2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left((k+r)(k+r- 1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum_{k=1}^{\infty}A_{k-1} z^{k+r-2}=\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\left\{\sum _{k=1}^{\ infinito }(k+r-1)^{2}A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k +r-2}\right\}=\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left ((k+r-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}.\end{alineado}}

De ( r − 1) 2 = 0 obtenemos la raíz doble 1. Usando esta raíz, establecemos el coeficiente en z k+r − 2 en cero (para la solución), lo que nos da:

(k+1-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}=k^{2}A_{k}-A_{k-1}=0,

por lo tanto tenemos la relación de recurrencia:

A_{k}={\frac{A_{k-1}}{k^{2}}}.

Dadas algunas condiciones iniciales, podemos resolver completamente el problema recursivamente u obtener una solución en serie de potencias.

Dado que la relación de los coeficientes es una función racional , la serie de potencias se puede escribir como una serie hipergeométrica generalizada. $A_{k}/A_{k-1}$

Raíces separadas por enteros

En el ejemplo anterior, el polinomio definitorio tenía una raíz múltiple, lo que da solo una solución a la ecuación diferencial dada. En el caso general, el método de Frobenius da dos soluciones independientes, siempre que las raíces de la ecuación gobernante no estén separadas entre sí por un número entero.

Si la raíz se repite o las raíces difieren en un número entero, entonces la segunda solución se puede encontrar con:

y_{2}=Cy_{1}\ln x+\sum _{k=0}^{\infty}B_{k}x^{k+r_{2)),

donde es la primera solución (teniendo en cuenta la raíz mayor en el caso de raíces desiguales), es la raíz menor, y se deben determinar las constantes y coeficientes . Cuando se selecciona (por ejemplo, configurándolo en 1), entonces u se define hasta pero sin incluir , que se puede elegir arbitrariamente. Entonces esto determina todo lo demás En algunos casos, la constante debe ser igual a cero. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación diferencial (ecuación de Kummer con a = 1 y b = 2 ): $y_{1}(x)$ $r_{2}$ $C$ $B_{k}$ $B_{0}$ $C$ $B_{k}$ $B_{r_{1}-r_{2))$ $B_{k}.$ $C$

zu''+(2-z)u'-u=0.

La ecuación definitoria tiene raíces −1 y 0. A partir de dos soluciones independientes y vemos que los logaritmos no aparecen en la solución. La solución tiene una serie de potencias que comienza con el exponente cero. En series que comienzan con la relación de recurrencia no impone ninguna restricción sobre el coeficiente en el que se puede elegir arbitrariamente. Si es igual a cero, entonces para esta ecuación diferencial todos los demás coeficientes serán iguales a cero y obtenemos la solución . ${\ estilo de visualización 1/z}$ ${\ estilo de visualización (e^{z})/z}$ ${\ estilo de visualización (e^{z}-1)/z}$ ${\ estilo de visualización z^{-1},}$ ${\ estilo de visualización z ^ {0},}$ ${\ estilo de visualización 1/z}$

Véase también

serie laurent

Notas

↑ Método de Frobenius . Consultado el 11 de febrero de 2019. Archivado desde el original el 12 de febrero de 2019. (indefinido)
↑ Teorema formal de Frobenius . Consultado el 11 de febrero de 2019. Archivado desde el original el 12 de febrero de 2019. (indefinido)

Enlaces

Weisstein, Eric W. Frobenius Method (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Sistemas Dinámicos . - Providencia : Sociedad Matemática Americana , 2012. - ISBN 978-0-8218-8328-0 .