Método de imagen

El método de la imagen (método de la imagen especular) es uno de los métodos de la física matemática , que se utiliza para resolver problemas de valores límite para la ecuación de Helmholtz , la ecuación de Poisson, la ecuación de onda y algunos otros.

La esencia del método de la imagen es que el problema original de encontrar el campo de fuentes dadas (externas) en presencia de superficies límite se reduce a calcular el campo de las mismas y algunas fuentes adicionales (ficticias) en un entorno infinito, que son ubicado fuera del campo de encontrar el campo del problema original. Estas fuentes adicionales se denominan fuentes de imágenes . Las reglas para su construcción son completamente similares a las que se utilizan para construir imágenes de fuentes puntuales en óptica en un sistema de espejos (aquí los espejos repiten la forma de las superficies límite). Las magnitudes de las fuentes de imágenes están determinadas por las condiciones de contorno en las superficies, así como por los requisitos para la uniformidad del campo creado por un sistema real de fuentes y superficies, y un sistema compuesto por fuentes reales y fuentes de imágenes ficticias en el espacio. cerca de las fuentes reales.

Con la ayuda del método de la imagen, normalmente se resuelven problemas en los que cada fuente puntual dada puede asociarse con un sistema finito (a veces una serie discreta infinita) del mismo tipo de fuentes puntuales-imágenes. Por lo tanto, el método de la imagen es el más utilizado en electrostática. Además, el método de imagen se puede extender a una clase más amplia de límites y condiciones de límite dentro del marco del método de óptica geométrica a una longitud de onda suficientemente pequeña y algunas aproximaciones de longitud de onda corta que lo refinan. En este caso, se reduce a construir un patrón de rayos e imágenes geométrico-ópticas.

Ejemplo 1: Carga puntual y plano conductor

Deje que la carga puntual se ubique a una distancia del plano conductor. Se requiere determinar la fuerza con la que el plano actúa sobre la carga. $q$ $a$

Introduzcamos una imagen de carga igual y opuesta en el otro lado del plano a la misma distancia. La fuerza de atracción entre una carga real y una carga imagen está determinada por la ley de Coulomb :

F=k{\frac{q^{2}}{4a^{2}}}

Ejemplo 2: Carga puntual cerca de una interfaz entre dos dieléctricos

Deje que una carga puntual se ubique a una distancia de una interfaz plana entre dos dieléctricos con permeabilidades y . Se requiere determinar la fuerza que actúa sobre la carga. $q$ $a$ $\varepsilon_{1}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {2}}$

Introduzcamos una imagen de carga desde el otro lado del plano a la misma distancia. A partir de la ley de refracción, determinamos la magnitud de esta carga: ${\ estilo de visualización q ^ {\ principal}}$

{\frac {q-|q^{\prime}|}{q+|q^{\prime}|}}={\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}} }

La fuerza de atracción entre una carga real y una carga imagen está determinada por la ley de Coulomb :

F=k{\frac {q\cdot |q^{\prime }|}{(2a)^{2}}}=k{\frac {q^{2}}{4a^{2} }}{\frac {\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}}

La validez del método de la imagen especular se demuestra utilizando el teorema de unicidad para la solución de la ecuación diferencial correspondiente ( ecuación de Poisson en el caso de la electrostática) bajo ciertas condiciones de contorno .

En electrostática , el método facilita el cálculo de la distribución de un campo eléctrico en un volumen entre un conjunto de cargas eléctricas y superficies conductoras de determinada forma, así como entre cargas eléctricas y superficies dieléctricas . En el caso más simple, cuando una carga eléctrica se encuentra sobre un plano conductor (Fig. 1), el campo eléctrico entre la carga y la superficie es idéntico al campo entre esta carga y su imagen especular de carga opuesta. La validez de dicho reemplazo se deriva de la condición de ausencia de la componente tangencial del vector de intensidad de campo eléctrico en la superficie del conductor o, en otras palabras, se deriva del hecho de que el potencial de campo es el mismo en cualquier punto . de la superficie conductora [1] . De aquí también es obvio que la fuerza de interacción entre la carga y el plano es igual a la fuerza de interacción entre la carga real y su imagen especular, y también que esta fuerza de interacción es la fuerza de atracción.

Asimismo, el método de la imagen especular permite calcular el campo magnético de las corrientes continuas situadas por encima de un plano conductor o dieléctrico.

Además, en magnetostática , el método permite calcular el campo magnético en el volumen entre un conjunto de dipolos magnéticos (o alguna fuente de un campo magnético externo) y la superficie de un superconductor ideal (ver el efecto Meissner ). Aquí, en el caso más simple de un dipolo magnético sobre un plano superconductor (Fig. 2), el campo de las corrientes superconductoras apantalladas fuera del superconductor es equivalente al campo del dipolo reflejado. La validez se deriva de la condición de ausencia de la componente normal del campo magnético en la superficie del superconductor. La fuerza de interacción entre un imán y un superconductor ideal es repulsiva. También hay una generalización del método: el método de imágenes especulares congeladas , que también es aplicable a los superconductores con fuertes pines .

El método se usa a menudo para calcular otros campos, como fluidos o flujos de calor. [2]

Notas

↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Lectures on Physics. Volumen 5: Electricidad y Magnetismo. Traducción del inglés (Vol. 3). — Editorial URSS. — ISBN 5-354-00703-8
↑ Analogías electrostáticas (enlace inaccesible)

Literatura

Kupalyan SD Fundamentos teóricos de la ingeniería eléctrica. Parte 3, Campo electromagnético. - M., 1970.
Bessonov L. A. Fundamentos teóricos de la ingeniería eléctrica. - M.: "Escuela Superior", 1967.

Enlaces

Método de imagen - artículo de la Enciclopedia de Física
(enlace descendente desde 10-02-2017 [2072 días ) Método de imagen en electrostática]
http://iatephysics.narod.ru/lecture4/lecture4.htm
Vídeo tutorial "Método de la imagen especular"